湘教版高中数学选修4-4坐标系与参数方程旋转变换中图形的变化.ppt

旋转变换中图形的变化 平面上的变换T将每个点P变到某个点T（P），也就将平面上的每个图形G变成某个图形T（G），图形T（G）由图形G中所有的点在T作用下的像组成。 例1在平面直角坐标系上，设变换T将每个点绕原点O沿逆时针旋转 。点A的坐标为（1，1）。以下图形变成什么图形？ （1）点A； （2）线段OA； （3）直线y=x； （4）直线l：y+x=1； （5）反比例函数C： 的图像。 解 T的变换矩阵是 点P（x，y）与它在变换T作用下的像P （x，y）的坐标之间的关系为 ① 显然原点O（0，0）仍旋转到O（0，0）。 （1）设点A（1，1）变到点A（x，y）。则由①得 因此，点A（1，1）变到点A（O， ），如图1-4（a）。 （2）线段OA变到线段OA，A坐标为（0， ），如图1-4（a）。 （3）直线OA：y=x变到直线OA，OA即是y轴，即直线x=0，如图1-4（a）。 （4）方法1 直线x+y=1分别与坐标轴交于 B（1，0），C（0，1）。 将B，C的坐标代入①，计算可得它们分别被变到 B ，C T是旋转变换，因而将直线BC：x+y=1变到直线BC，而BC的方程为 ，如图1-4（b）。 方法2 旋转将直线l变到另一条直线l。设法求出由表x，y表示x，y的表达式，代入直线l的方程x+y=1就可得到l的方程。 关系式①是由x，y表示x，y的的关系式，要得到x，y表示x，y的关系式，可以在关系式①中将x，y当作已知数，解二元一次方程组求出未知数x，y。分别将①的两式相加、相减（后一式减前一式），再除以 ，得 代入直线l的方程工x+y=1得变换后直线l的方程 即 ，将直线上的点（x，y）重新写成（x，y），则直线l的方程为 ，如图1-4（b）。 （5）反比例函数图像的方程 可写为 。 将（4）得到的表达式②代入方程 得到 ② 即 ③ 将图象上的点的坐标（x，y）重新写为（x，y），则旋转后得到的曲线方程为 这是焦点在y轴上的双曲线的标准方程，如图1-4（c）。 对例1的解法及结果可以总结如下： 1.求点P（x，y）变换之后的点P（x，y）的坐标，只要带入变换表达式X=TX计算就行了。 2.预先知道旋转变换将线段变成线段，直线变成直线。因此，求出线段AB的两个端点变换后的点A，B的坐标，就确定了变换后的线段AB。求出直线l上两点A，B变换后的位置A，B的坐标，再求经过A，B的方程，就知道直线l变成直线l的方程。 3.已知曲线C的方程f（x，y）=0，要求曲线经过变换的像C的方程，可以通过解方程求出由变化后的坐标（x，y）计算变换前的坐标（x，y）的表达式，再将表达式代入原来曲线的方程f（x，y）=0就可以得到变换后的曲线方程。 怎样由变换后的点P的坐标（x，y）计算变换前的点P的坐标（x，y）？是不是一定要解方程组？能不能用一个变换M将P（x，y）再变回P（x，y）？比如，由P到P的变换T是绕原点旋转 ，只要让变换M是绕原点旋转相反的角- ，岂不就将P变回P了？而旋转- 的矩阵M是知道的，就是 因此 这正是例1中通过解方程得出的②。 平面上饶原点旋转角 变换T与绕原点旋转角- 的变换M的效果正好相互抵消。 若T：P→T（P），则M：T（P）→P。 若M：Q→M（Q），则T：M（Q）→Q。 因此，我们称M为T的逆变换，记作 同样，T也是M的逆变换， 因此 课后作业 1.完成例题2。 2.完成课后习题。 3.复习这节课内容。 谢 谢