湘教版高中数学选修4-5不等式选讲数学归纳法.ppt

数学归纳法 数学归纳法 (1)数学归纳法的概念： 先证明当n取第一值n0(例如可取n0＝1)时命题成立，然后假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立，证明当 时命题也成立．这种证明方法叫做数学归纳法． (2)数学归纳法适用范围： 数学归纳法的适用范围仅限于与 的数学命题的证明． n＝k＋1 正整数有关 (3)数学归纳法证明与正整数有关的数学命题步骤： ①证明当n取 (如取n0＝1或2等)时命题正确； ②假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时结论正确，证明当 时命题也正确． 由此可以断定，对于任意 的正整数n，命题都正确． 第一个值n0 n＝k＋1 不小于n0 利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述n＝n0时命题的形式，二是要准确把握由n＝k到n＝k＋1时，命题结构的变化特点．并且一定要记住：在证明n＝k＋1成立时，必须使用归纳假设． [例2]　求证：x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除． [思路点拨]　本题是与正整数有关的命题，直接分解出因式(x＋y)有困难，故可考虑用数学归纳法证明． [证明]　(1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)能被x＋y整除． (2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，x2k－y2k能被x＋y整除， 那么当n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2 ＝x2·x2k－y2·y2k－x2y2k＋x2y2k ＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2) ∵x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除， ∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除． 即n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除． 由(1)(2)可知，对任意正整数n命题均成立． 利用数学归纳法证明整除时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式．这就往往要涉及到 “添项”与“减项”“因式分解”等变形技巧，凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题得证． 3．用数学归纳法证明：(3n＋1)7n－1(n∈N＋)能被9整除． 证明：①当n＝1时，4×7－1＝27能被9整除命题成立． ②假设n＝k时命题成立，即(3k＋1)·7k－1能被9整除，当n＝k＋1时， [(3k＋3)＋1]·7k＋1－1＝[3k＋1＋3]·7·7k－1＝ 7·(3k＋1)·7k－1＋21·7k ＝[(3k＋1)·7k－1]＋18k·7k＋6·7k＋21·7k ＝[(3k＋1)·7k－1]＋18k·7k＋27·7k， 由归纳假设(3k＋1)·7k－1能被9整除，又因为 18k·7k＋27·7k也能被9整除，所以[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1能被9整除，即n＝k＋1时命题成立． 则①②可知对所有正整数n命题成立． 4．用数学归纳法证明： 当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除． 证明：(1)当n＝1时，x＋y能被x＋y整除． (2)假设n＝2k－1时，x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除，当n＝2k＋1时，x2k＋1＋y2k＋1＝x2k＋1＋y2k＋1＋x2y2k－1－x2y2k－1＝x2(x2k－1＋y2k－1)－y2k－1(x＋y)(x－y)， 根据归纳假设x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除，另一项有因式x＋y， 因此也能被x＋y整除， 所以，当n＝2k＋1时，命题仍然成立． 根据(1)(2)可知当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除. 用数学归纳法证明几何问题时，一定要清楚从n＝k到n＝k＋1时，新增加的量是多少．一般地，证明第二步时，常用的方法是加1法，即在原来k的基础上，再增加一个，当然我们也可以从k＋1个中分出1个来，剩下的k个利用假设． 6．求证：平面内有n(n≥2)条直线，其中任意两条直线不 平行，任意三条直线不过同一点，求证它们彼此互相分割成n2条线段(或射线) 证明：(1)当n＝2时，两条直线不平行，彼此互相分割成4条射线，命题成立。 (2)假设当n＝k时，命题成立，即k条满足条件的直线彼此互相分割成k2条线段(或射线)．那么n＝k＋1时，取出其中一条直线为l，其余k条直线彼此互相分割成k2条线段(或射线) 直线l把这k条直线又一分为二，多出k条线段(或射线)；l又被这k条直线分成k＋1部分，所以这k＋1条直线彼此互相分割成k2＋k＋k＋1＝(k＋1)2条线段(