湘教版高中数学选修4-5不等式选讲柯西不等式.ppt

柯西不等式 1．利用柯西不等式证明不等式． 2．能够利用柯西不等式求一些特定函数的最值． 3．认识二维形式的柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义． 1．定理1(二维形式的柯西不等式的代数形式)：设a，b，c，d均为实数，则____________________________________，其中等号当且仅当________时成立． 2．定理2(柯西不等式的向量形式)：设α，β为两个平面向量，则______________，其中等号当且仅当两个向量______________________________时成立． (a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2 ad＝bc |α||β|≥|α·β| 方向相同或相反(即两个向量共线) 思考1　几何意义：设α，β为平面上以原点O为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A（a，b），B(c，d)，那么它们的数量积α·β＝　　　　，而 所以柯西不等式的几何意义就是______________,其中等号当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立. 题型一 不等式证明 例1 已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1. 分析：利用柯西不等式的代数形式证明． 证明：由柯西不等式得 (ax＋by)2≤(a2＋b2)(x2＋y2)＝1， ∴|ax＋by|≤1. 栏目链接 ∴原不等式成立． 点评：利用柯西不等式证明某些不等式时，有时需要将数学表达式适当的变形，这种变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能找到证题的突破口． 变 式训 练 题型二 最值问题 变 式训 练 答案：D 谢谢！