湘教版高中数学选修4-6初等数论初步《孙子算经》的韩信点兵.ppt

《孙子算经》的韩信点兵 一、“韩信点兵”的故事和《孙子算经》中的题目 1.“韩信点兵”的故事 韩信阅兵时，让一队士兵5人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（1人）；再让这队士兵6人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（5人）；再让这队士兵7人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（4人），再让这队士兵11人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（10人）。 然后韩信就凭这些数，可以求得这队士兵的总人数。 这里面有什么秘密呢？ 韩信好像非常重视作除法时的余数 2.《孙子算经》中的题目 我国古代数学名著《孙子算经》中有“物不知数”的 题目： 今有物不知其数， 三三数之剩2， 五五数之剩3， 七七数之剩2， 问物几何？ 这里面又有什么秘密呢？ 题目给出的条件， 也仅仅是作除法时的余数 《孙子算经》 二．问题的解答 1．从另一个问题入手 问题：今有物不知其数，二二数之剩1，三三数之剩2，四四数之剩3，五五数之剩4，六六数之剩5，七七数之剩6，八八数之剩7，九九数之剩8，问物几何？ 1）筛法 1，3，5，7，9，11，13，15，17，19， 21，23，25，… （ 用2除余1） 5， 11， 17， 23， … （ 用3除余2） 11， 23，… （ 用4除余3） 再从中挑“用5除余4”的数，… 一直筛选下去，舍得下功夫，就一定可得结果。 并且看起来，解，还不是唯一的；可能有无穷多个解。 化繁为简的思想 当问题中有很多类似的条件时，我们先只看其中两三个条件，这就是化繁为简。 一个复杂的问题，如果在简化时仍然保留了原来问题的特点和本质，那么简化就“不失一般性”。 学会“简化问题”与学会“推广问题”一样，是一种重要的数学能力。 寻找规律的思想 把我们的解题方法总结为筛法，是重要的进步，是质的飞跃： ——找到规律了。 筛法是一般性方法，还可以用来解决其他类似的问题。 2）公倍数法 ① 化繁为简 我们还是先看只有前两个条件的简化题目。 1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，… （ 用2除余1） 5， 11， 17， 23， … （ 用3除余2） 上述筛选过程的第一步，得到: 1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，… 其实是列出了“用2除余1”的数组成的数列。这个数列实际上是用带余除法的式子得到的。 对整个问题寻找规律 问题： 今有物不知其数，二二数之剩1，三三数之剩2，四四数之剩3，五五数之剩4，六六数之剩5，七七数之剩6，八八数之剩7，九九数之剩8，问物几何？ 12 ②寻找规律 设问题中，需要求的数是 ，则 被2，3，4，5，6，7，8，9去除，所得的余数都是比除数少1，于是我们把被除数 再加1， 则 就可被2，3，4，5，6，7，8，9均整除。也就是说， 是2,3,4,5,6,7,8,9的公倍数，从而是其最小公倍数[2,3,4,5,6,7,8,9]的倍数。 即 这就是原问题的全部解，有无穷多个解，其中第一个解是2519；我们只取正数解，因为“物体的 个数”总是正整数。 [思]： ① 求“用2除余1，3除余2，… 用m除余 m－ 1”的数。 ② 求“用a除余a －1，用b除余b－1，用c除余c－1”的数。 （a,b,c是任意大于1的自然数） ③ 求“用2