湘教版高中数学选修4-6初等数论初步二元一次不定方程.ppt

二元一次不定方程 一、问题的提出〔百钱买百鸡〕 鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一。 百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？” 分析：设x, y, z分别表示鸡翁、鸡母、鸡雏的只数， 则可列出方程如下： 消去z得到方程 这里，方程的个数少于未知数的个数，在实数范围内， 方程的解有无穷多个。而我们所关心的是其有无整数 〔或正整数〕解，这种方程〔组〕称为不定方程。 小明家现有边长相等的正三角形、正方形、正五 边形、正六边形四种地板砖，要选择其中两种用 以铺地板,则下列选择正确的是（ ） 分析： 这类问题实质上是“不定方程求正整数解”的问题，因为铺好的地板中间不能出空隙，所以两种图形内角拼在一起恰好要构成360 度角，并且砖的块数又是正整数。于是就使几何拼图转化成不定方程求正整数解的问题。 A、① ②、 B、① ③、 C、 ② ③、 D、 ② ④ 设需正三角形地砖m块，正方形地砖n块恰好铺成， 则有 60m+90n=360. 二元一次不定方程的一般形式为 注：该方法对一次项系数较小的方程比较实用。 二、二元一次不定方程解的形式和判定 定理1 若〔1〕式有整数解 则〔1〕式的一切解可以表示为 （2） 定理1的证明： 证：把〔2〕代入〔1〕，成立，故〔2〕是〔1〕的解。 例2 写出下列方程通解的形式： 说明：定理1给出了方程通解的一般形式。这样， 解决问题的关键在于求一个特解。 问题：所有的二元一次方程都有解吗？ 即为方程〔1〕的解。 Thank you