湘教版高中数学选修4-6初等数论初步余数的判别.ppt

余数的判别 例1 别除以5，4的余数各是多少？ 大家可以想一想，心里大概计算出答案。 解：解由于10≡0（mod5），在模5的同余式中可以将10（以及10的倍数）替换成0。也就是说：在被除数中只保留个位数，将十位及其以上位数的数字全部扔掉，不影响余数。如图所示。 因此，除以5的余数是4，就是被除数的末位数9除以5的余数。再由100≡0（mod4）得如下。 因此，除以4的余数是1，就是被除数的末两位数89除以4的余数。 例2 300500000分别除以3，9的余数各是多少？大家可以想一想，心里大概计算出答案。 解：解由于10≡1（mod3），而且10≡1（mod9）。在模3和模9的同余式中都可以将10用1代替。如图所示。 因此，300500000除以3，9的余数等于它的各位数字之和3+5除以3，9的余数，分别等于2，8。 例3 求300 500 000除以11的余数. 解 由于 余数是9. 仿照上述例题中的方法，可以证明如下的法则： 求余数的法则： 设a是整数。 1.要将a除以2，5求余数，只要将a的个位数除以2，5求余数； 2.要将a除以4，25求余数，只要将a的末两位数除以4，25求余数； 3.要将a除以3，9求余数，只要将a的各位数字之和除以3，9求余数； 4.要将a除以11求余数，只要将a的从低位到高位的奇位数字之和减去偶位数字之和，所得的差除以11求余数。 求a=123456789除以7的余数。 解：由1000≡-1（mod7），可以在模7的同余式中将1000换成-1，因此如下所示。 余数是1。 上述的方法可以推广到被除数为任意整数a的情形，得出如下法则： 求整数a除以7的余数，可以将a从低位到高位每3位分成一组，将其中奇数组（第1,3,5，…组）之和减去偶数组（第2,4,6，…组）之和，所得的差除以7求余数。 一个五位数是某个整数的四次方，并且它的从低位到高位的奇位数字之和等于偶数位之和，求这个五位数。 今天的学习到此结束，大家都学会了么？ 谢谢