湘教版高中数学必修1二次函数的图像和性质——对称性.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 【课标要求】 二次函数的图象和性质——对称性 掌握函数的奇偶性的定义和判断方法． 理解奇函数和偶函数的图象的特点． 掌握二次函数图象的对称性及二次函数图象的分类． 1． 2． 3． 奇、偶函数的定义 (1)如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且____________成立，则称F(x)为偶函数； (2)如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且______________成立，则称F(x)为奇函数． 奇、偶函数的图象特征 偶函数的图象是以_____为对称轴的轴对称图形，奇函数的图象是以_____为对称中心的中心对称图形． 自学导引 1． 2． F(－x)＝F(x) F(－x)＝－F(x) y轴 原点 缺少一次项的二次函数y＝ax2＋c是偶函数，其图象是以_____为对称轴的轴对称图形． 如果函数F(x)有一条平行于y轴的对称轴，对称轴和x轴交点的坐标是(s，0)，则对任意的h，有________________ 反之亦然． 4． y轴 F(s＋h)＝F(s－h) 轴 六 x轴 (x0，0) 上 恒正 (3)如Δ＞0，图象和x轴交于两点(x1，0)和(x2，0)，这里x1＜x2，是方程______________的两个不等实根．对应于x∈_______，图象在x轴下方，当x在_______之外时，图象在x轴上方． ax2＋bx＋c＝0 (x1，x2) [x1，x2] 判断函数的奇偶性为什么要判断定义域在x轴上所示的区间是否关于原点对称呢？ 提示　由定义知，若x是定义域内的一个元素，－x也一定是定义域内的一个元素，所以函数y＝f(x)具有奇偶性的一个必不可少的条件是：定义域在x轴上所示的区间关于原点对称．即：如果所给函数的定义域在x轴上所示的区间不是关于原点对称，这个函数一定不具有奇偶性．例如：函数f(x)＝x3在R上是奇函数，但在[－2，1]上既不是奇函数也不是偶函数． 自主探究 1． 有没有既是奇函数又是偶函数的函数？ 提示　有．如f(x)＝0，x∈(－5，5)． 2． 解析　结合图象知选项为D. 答案　D 预习测评 二次函数y＝－x2－6x＋k的图象的顶点在x轴上，则k的值为 (　　)． A．－9 B．9 C．3 D．－3 解析　∵y＝－(x＋3)2＋k＋9，∴k＋9＝0，k＝－9. 答案　A 设函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，则a＝______． 答案　－1 2． 3． 若函数y＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的图象关于直线x＝1对称，则b＝______． 答案　6 4． 定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断f(－x)＝±f(x)之一是否成立． 名师点睛 1． 判断函数奇偶性的常用方法 图象法：奇(偶)函数等价于它的图象关于原点(y轴)对称． 性质法：利用性质来判断，即利用奇、偶函数的和、差、积、商的奇偶性，以及复合函数的奇偶性来判断．即： (1)在公共定义域内，偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数． (2)对于复合函数F(x)＝f[g(x)]：若g(x)为偶函数，则F(x)为偶函数；若g(x)为奇函数，f(x)为奇函数，则F(x)为奇函数；若g(x)为奇函数，f(x)为偶函数，则F(x)为偶函数． 3． 4． 警示　在判断函数的奇偶性时，容易忽视函数的定义域是否关于原点对称这一前提条件，从而导致做无用功(即浪费时间和精力，又判断失误而出错)． 已知f(x)为R上的奇函数，当x0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1. (1)求f(x)的解析式； (2)作出函数f(x)的图象． 解　(1)设x0，由于f(x)是奇函数， 故f(x)＝－f(－x)，又－x0， 由已知有f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1 ＝－2x2－3x＋1. 所以－f(－x)＝2x2＋3x－1.又f(0)＝0， 题型一　函数奇偶性的应用 【例1】 典例剖析 点评　利用奇、偶函数图象的对称性，可以画出图象的另一半，从而可以减少工作量．本题容易将f(0)＝0遗漏掉． 【变式1】 即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数． (3)由题易知函数f(x)的定义域{x|x≠0}，关于原点对称， ①当x0时，－x0， ∴f(－x)＝(－x)[1－(－x)]＝－