湘教版高中数学必修1对数的概念和运算律.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 【课标要求】 对数的概念和运算律 理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化． 了解常用对数与自然对数的意义． 理解对数恒等式并能用于有关对数的计算． 掌握对数的运算性质及其推导． 能运用对数运算性质进行化简、求值和证明． 1． 2． 3． 4． 5． 如果ab＝N(a0，a≠1)，那么b叫作以a为底，(正)数N的_____(logarithm)，记作b＝______．这里，a叫作对数的____ (base)，N叫作对数的_____ (proper number)． 把上述定义中的b＝logaN代入ab＝N，得到alogaN＝N；把N＝ab代入b＝logaN，得到b＝logaab，这两个等式叫作对数的基本恒等式： alogaN＝___，___＝logaab. 由上述基本恒等式可知，logaa＝logaa1＝___，loga1＝logaa0＝___． 自学导引 1． 对数 logaN 底 真数 N b 1 0 由对数的定义可以推导出下面三个运算法则： (1)loga(MN)＝_____________； (2)logaMn＝________； logaM－logaN 在没有电子计算机的年代，为了复杂计算的需要，引入了以10为底的_________ (common logarithm)． 在数学研究中，有一种对数的有关解析式非常简捷方便，这种对数叫作自然对数(natural logarithm)，它是以无理数____________为底的对数． 为了方便，通常把常用对数和自然对数的符号简写为： log10N＝___，logeN＝___． 2． 3． logaM＋logaN nlogaM 常用对数 e＝2.718 28… lgN lnN 幂运算和对数运算有什么不同？ 提示　在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算；而如果已知a和N求x，就是对数运算．两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算． ? 自主探究 1． 在对数式x＝logaN，为什么规定a0且a≠1呢？ 提示　(1)若a0，且N为某些数值时，logaN不存在．如 (－2)x＝3没有实数解，所以log(－2)3不存在，为此，规定 a不能小于0. (2)若a＝0，且N≠0时，logaN不存在；N＝0时，loga0有无数个值．为此，规定a≠0. (3)若a＝1，N不为1时，x不存在，如log12不存在；N为1时，x可以是任何数，是不唯一的，为此，规定a≠1. 因此，规定底数a0，且a≠1. 2． 已知logx16＝2，则x等于 (　　)． A．±4 B．4 C．256 D．2 解析　由logx16＝2得，x2＝16，又x＞0，所以x＝4. 答案　B 预习测评 1． 答案　C 若log2[log3(log4x)]＝0，则x＝________． 解析　log3(log4x)＝1，log4x＝3，x＝43＝64. 答案　64 21－log27＝________． 3． 4． 实质上，对数表达式不过是指数函数y＝ax的另一种表达形式，例如：34＝81与4＝log381这两个式子表达是同一关系，因此，有关系式ax＝N?x＝logaN. 名师点睛 1． 根据对数的定义，对数logaN(a0，且a≠1)具有下列性质： (1)零和负数没有对数，即N0； (2)1的对数为零，即loga1＝0； (3)底的对数等于1，即logaa＝1. 对数式与指数式的互化是在解决对数问题时运用化归思想的桥梁．因此，在刚开始学习对数问题时，我们可以把它转化为指数问题，利用分数指数幂的有关运算性质及其方法技巧来解决问题；反过来我们也可以把较复杂的指数式的有关问题转化为对数问题，从而使问题得到简捷的解法． 3． 4． 学习对数的运算性质时应注意 (1)对数运算性质推导的基本方法：利用对数的定义将对数问题转化为指数问题，再利用幂的运算性质，进行转化变形，然后把它还原为对数问题．如“loga(MN)＝logaM＋logaN”的推导：设logaM＝m，logaN＝n，则am＝M，an＝N，∴MN＝am·an＝am＋n， ∴loga(MN)＝logaM＋logaN＝m＋n. (2)对应每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数符号都有意义时，等式才成立，如log2[(－3)·(－5)]＝ log2(－3)＋log2(－5)是错误的． (3)要把握住运算性质的本质特征，防止应用时出现错误，初学者常犯的错误是： 5． (4)会用语言准确叙述运算性质，对于防止出现上述错误有好处． 如loga(M·N)＝logaM＋logaN叙述为“两个正数乘积的对数等于这两个正数同底的对