湘教版高中数学选修2-3二项式定理.ppt

二项式定理 问题 引航 1.二项式定理是什么？通项公式又是什么？ 2.二项式定理有何结构特征，二项展开式中某项的二项式系数与某项的系数有区别吗？ 二项式定理 二项式定理 (a+b)n= _______________________________ 二项展开式 公式___________ 二项式系数 各项的系数_______________ 二项展开 式的通项 Tk+1=________ 右边的式子 1.判一判 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)(a+b)n展开式中共有n项.( ) (2)二项式(a+b)n与(b+a)n展开式中第r+1项相同.( ) (3) 是(a+b)n展开式中的第k项.( ) 【解析】(1)错误.(a+b)n展开式中共有n+1项. (2)错误.(a+b)n展开式中第r+1项为 ，而(b+a)n展开式 中第r+1项为 (3)错误. 是(a+b)n展开式中的第k+1项. 答案：(1)× (2)× (3)× 2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1) 的二项展开式中第4项是________. (2)展开 为__________. (3)(1+x)7的展开式中x2项的系数是_________. 【解析】(1)展开式的通项公式为 所以第4项为 答案： 答案： (3)(1+x)7展开式中 令k=2，得x2项的系数是 =21. 答案：21 【要点探究】 知识点 二项式定理及其通项公式 1.二项展开式的特点 (1)展开式共有n+1项. (2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n. (3)字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到为0，字母b的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为n. 2.对通项公式的四点说明 (1)通项 是(a+b)n的展开式的第r+1项，这里r=0，1， …，n. (2)二项式(a+b)n的第r+1项 和(b+a)n的展开式的第r+1 项 是有区别的，应用二项式定理时，其中的a和b是不 能随便交换的. (3)注意二项式系数 与展开式中对应项的系数不一定相等， 二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负. (4)通项公式是在(a+b)n这个标准形式下而言的，如(a-b)n的 二项展开式的通项公式是 (只需把-b看成b代 入二项式定理)，这与 是不同的，在这里对应项的 二项式系数是相等的，都是 ，但项的系数一个是 ，一 个是 ，可看出二项式系数与项的系数是不同的概念. 【知识拓展】二项式定理的证明 (a+b)n是n个(a+b)相乘，每个(a+b)在相乘时有两种选择，选a或b.而且每个(a+b)中的a或b选定后才能得到展开式的一项.由分步计数原理可知展开式共有2n项(包括同类项)，其中每一项都是an-kbk的形式，k=0，1，…，n； 对于每一项an-kbk，它是由n-k个(a+b)选了a，k个(a+b)选了b得到的，它出现的次数相当于从n个(a+b)中取k个b的组合数，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理. 【微思考】 (1)(a+b)n展开式中各项前的系数代表着什么？ 提示：各项前的系数依次为组合数 代表着这 些项在展开式中出现的次数. (2)二项展开式中一定含有常数项吗？ 提示：不一定.由 可知，也可能无常数项. 【即时练】 1.在 的二项展开式中，x5的系数为_____________. 【解析】因为 由题意知15-5r=5，解得r=2. 所以 即为所求x5的系数. 答案：40 2.(1+2x)5的展开式的第3项的系数为__________，第三项的二 项式系数为__________. 【解析】(1+2x)5的展开式的第3项的系数为 =40，第三项的 二项式系数为 =10. 答案：40 10 【题型示范】 类型一 二项式定理的正用和逆用 【典例1】 (1)计算： (2)用二项式定理展开 【解题探究】1.题(1)中式子有什么结构特征？如何与二项式 定理联系？ 2.题(2)中运用二项式定理展开二项式的关键是什么？ 【探究提示】1.式子是按x-1的降幂排列的，但与二项式定理 比较可知式子中缺少(x-1)0项，进而可构造[(x-1)+1]5. 2.关键是记准展开式，根据二项式的结构特征进行必要的变形， 可使展开二项式的过程得到简化. 【自主解答】(1)原式= 答案：x5-1 (2)方法一： 方法二： 【方法技巧】运用二项式定理的解题策略 (1)正用：求形式简单