湘教版高中数学选修3-3球面上的几何对称与全等.ppt

对称与全等 球面上的几何，与平面几何相比较，有哪些类似之处，又有哪些不同的地方呢? 一、对称性 从直观上感觉，虽然平面是平坦的，球面是弯曲的，但在球面的弯曲与平面的平坦之间具有共性:平面处处“一样”地平坦，球面处处“一样”地弯曲.简而言之，就是两者都具有很好的对称性. 直观感觉上的所谓“一样平”、“一样弯”，可以用数学方式精确描绘出来. 如图2-1，在平面内，通过任一指定点A，沿着任一指定方向AM，有且只有一条直线a.将直线a在这平面内移动，可以使它改变到平面内任一指定直线b的位置，并且使点A落到b上指定的点B，同时使方向AM落到b上指定的方向BN. 简单地说，就是在平面内所有各点地位均等(均匀)，一点处所有方向地位均等(各向同性).这就是平面的对称性. “方向”的概念，可以从平面推广到球面.球面在一点处的一个方向，就是球面在这一点的切线方向(切线是过球面上一点垂直于球半径的直线，它与球面有且只有一个公共点，叫作切点). 如图2-2，在球面内，通过任一指定点A，沿着任一指定方向AM，有且只有一个大圆a.将大圆a在这球面内移动，可以使它改变到球面内任一指定大圆b的位置，并且使点A落到b上指定的点 B，同时使方向AM落到b上指定的方向BN. 简单地说,就是在球面内所有各点地位均等(均匀)，一点处所有方向地位均等(各向同性).这就是球面的对称性. 平面几何里有一种常用证明方法，叫作重合法.就是通过移动，把一个图形转移到与另一图形重合的位置，从而得到所需的结论.平面几何运用重合法的依据，是平面的对称性. 二、从轴对称到面反射 平面内关于一条直线AB的轴对称变换，就是将这平面绕直线AB翻转180°.这种几何变换来源于日常生活中的折纸动作. 如图2-3，在平面内，设点C不在直线AB上，那么关于AB的轴对称变换把C变到位于AB另一侧的一点D，使得线段CD被直线AB垂直平分.这时说两点C和D关于直线AB对称，AB叫作对称轴. 在空间里，“照镜子”的几何变换叫作面反射. 如图2-4，设有定平面P，又设C是任意点，但不在平面P内.那么关于平面P的面反射把C变到位于平面P另一侧的点D,使得线段CD被平面P垂直平分.就是说.CD⊥平面P，并且如果CD与平面P的交点是M , 那么CM=MD.这时说两点C和D关于平面P对称.平面P叫作反射面. 三、关于大圆的对称 一般地，如图2-5，设在球面上已知一个确定的大圆AB，又设C是球面上的任意点，但不在大圆AB上.那么关于大圆AB的对称变换把C变到球面上位于大圆AB另一侧的点D，使得大圆弧CD被大圆AB垂直平分(就是说，大圆弧CD⊥大圆AB，并且如果大圆弧CD与大圆AB的交点是M,那么大圆弧CM=MD).这时说两点C和D关于大圆AB对称. 四、对称的球面三角形 定理1 如果两个球面三角形对称，那么它们全等. 五、球面三角形全等判定定理之一（SAS） 定理2 如果两个球面三角形的两双对应边及其夹角分别相等，那么它们全等. 定理3 球面等腰三角形的底角相等. 六、球面三角形全等判定定理之二（ASA） 定理4 如果两个球面三角形的两双对应角及其夹边分别相等，那么它们全等. 定理5 在球面等腰三角形中，顶角的平分线也是底边上的中线，同时又是底边上的高(三线合一）. 七、球面三角形全等判定定理之三（SSS） 定理6 如果两个球面三角形的三双对应边分别相等，那么它们全等. 定理7 如果球面四边形的两双对边分别相等，那么它的两双对角也分别相等. 谢 谢！