湘教版高中数学选修3-3球面上的几何球面面积与欧拉定理.ppt

球面面积与欧拉定理 著名的欧拉定理断言，对于任意凸多面体，设顶点数为v,棱数为e，面数为f,那么 v-e+f=2 设想这些凸多面体是用橡皮膜做成的.往橡皮膜内充气,凸多面体膨胀成为球面.多面体的面,变成了球面多边形.所以，欧拉定理与球面多边形有关. 对于一个球面n边形，从它的一个顶点作对角线，共能作n-3条,结果将这球面n边形分成n-2个球面三角形.由此可见,欧拉定理与球面多边形的关系,可以归结为与球面三角形的关系. 欧拉定理与球面三角形的具体关系如何呢? 为了叙述简单，可设求半径R=1. 设第1个多边形面有 条边,那么通过连对角线,可将它分成 个球面三角形. 如果第2个面有 条边.那么它被分成 个球面三角形. 如此继续,直到第f个面,有 条边，可分成 个球面三角形. 设分成的球面三角形共有k个.那么 在原先的多边形面上，每个多边形的每条边都在某条棱中出现,每条棱都恰好在两个相邻面中分别充当一条边,总起来共有e条棱, 所以 综合以上两式，得到 k=2(e-f) 在剖分而得的这k个球面三角形中,设第1个的面积为 ，内角和为 ,利用球面三角形的面积公式.得 同理，对于第2个球面三角形，有 如此继续，对于第k个球面三角形，有 将以上k个等式的两边对应相加，左边的所有面积之和，等于整个单位球面的面积4π.所以 又因为这些球面三角形的顶点都是原多边形的顶点，共有v个，在每个顶点的周围都恰好排列一周.围绕每个顶点的角和是2π，总和是 欧拉定理允许图形像橡皮膜一样连续变形.在连续变形下保持不变的性质叫作拓扑性质.欧拉定理是一个拓扑性质. 至于球面三角形的面积，却是一种度量性质.利用球面三角形面积公式证明欧拉定理，显示了图形的度量性质与拓扑性质之间的深刻联系. 谢 谢！