湘教版高中数学选修3-3球面上的几何证明大圆弧最短.ppt

证明大圆弧最短 球面上的大圆，类似于平面里的直线.这是球面与平面类比中最基本的一个结论，影响全局. 直线是直的，大圆是弯的，两者之间的类似，并非貌似，而是神似.最关键的相似处，在于最短性:在平面里两点之间直线最短，在球面上两点之间大圆劣弧最短. 所谓“在球面上两点之间大圆劣弧最短”，意思是说，如果A和B是一个球面上的任意不同两点，那么在这球面上连接A和B的所有路线中，最短的一条是大圆劣弧. 说到“所有路线”，当然不限于由若干大圆弧顺次首尾相连组成的球面折线，也不限于不同半径的圆弧，而应该包括所有各种任意形状的球面曲线.涉及球面上的任意曲线，问题就复杂了. 要证明大圆弧的最短性，可以分三步实现: 第一步 证明只含两节的球面折线ACB比大圆劣弧AB长.这时可利用球面余弦定理:在任意球面三角形ABC中, 由于角C(弧度)大于0，小于π.所以 因而从球面余弦定理得到不等式 大圆劣弧AB所对的圆心角γ(弧度)大于0，小于π.在这个区间内，余弦函数单调减小.所以 γ＜α+β 这就意味着，在任意球面三角形ABC中， AB＜BC+CA 所证明的不等式可叙述成下面的定理的形式: 定理1 球面三角形中,任意两边之和大于第三边. 谢 谢！