湘教版高中数学选修3-4对称和群图形的对称性.ppt

图形的对称性 今天，我们一起从数学的角度深入地研究对称性质。 这三个图形，哪些具有对称性？ 不等边三角形 无对称性。 等腰三角形，设想它沿着细实线画的轴l，即底边的中垂线所在的直线，在三维空间中翻转π（180°），仍能和原三角形重合。 这是一种对称性质，在平面几何中我们把它叫作轴对称性。 等边三角形，它有l1，l2，l3三条对称轴，图中用细实线表示。沿着其中每条轴翻转都可以把它变换到与自身重合。 其中，△ABC是正三角形，l是过△ABC的中心O且垂直于△ABC所在平面的直线。 等边三角形的旋转对称性，即假定过它的中心有一条垂直于三角形所在平面的直线l，叫作旋转轴，在三维空间中沿着这条轴逆时针方向旋转 （120°）或 （240°），仍能和原三角形重合。 我们把该正三角形想象成金属薄片，或者更抽象地，想象成物理学中的刚体，而把沿着某轴的旋转看作是刚体的运动，则上述每种对称性质都表现为该刚体运动后仍把它变到自身。 旋转变换：只在图形所在的平面中考虑，即运动时并没有离开其所在的平面。我们把这样的运动叫作该平面图形的旋转变换。 反射变换：通过在三维空间中的运动实现，也可以通过在该平面中沿着轴li（i＝1，2，3）的反射来实现。 在平面几何中，把直线l上的每一点都保持不动，而把所有其他的点都变到这些点关于轴l的对称点(对称点是满足下面性质的点：轴l恰好是该点和其对称点所连线段的中垂线。)更形象地说，假想在轴l上立一面垂直于该平面的镜子，平面上某点的对称点就是该点在镜子中的像所在位置的点。我们把这样的变换叫作反射变换。 旋转变换和反射变换都是正三角形的变换。因为这些变换反映了图形的对称性质，我们把它们称作该三角形的对称变换。 我们把平面图形看成是该平面上由图形中的点所作成的集合，譬如我们把该正三角形内以及诸边上的点所组成的集合叫作S。所谓该正三角形的一个变换就是S到自身上的一个映射。 映射虽然是大家熟悉的概念，但并不是所有S到自身上的映射都叫作S或其所对应的正三角形的变换。精确地说，变换必须是S到自身上所谓的一一映射，即不同的点映过去的像仍不同，并且能映满该集合的映射。 在研究对称变换时，因为正三角形的点组成无限集合，研究它的一一映射不是很方便。但我们可以只考虑它的三个顶点的一一映射，它完全能反映正三角形的变换。这是因为，三角形在运动中可以看成刚体，而刚体任意两点之间的距离在运动中保持不变。因此，它的三个顶点的像就决定了每个点的像。 我们研究正三角形的对称变换时，常以其三个顶点变到何处来表示三角形的变换。 在数学上，对于任意集合S，我们称S到S上的一一映射为S的一个变换。如果S是个有限集合，即S只包含有限多个元素，通常我们把这个集合的变换称为置换。置换有很简单的表示方法。 例 正三角形的对称变换是什么样的？什么样的变换才是对称变换？ 以正三角形为例来说明。令这个三角形的点的集合是S。在做反射和旋转时，都引起该三角形的一个运动，它有什么基本性质呢？ 最基本的就是这些变换具有刚体运动的性质，即在变换（运动）之后，S中任意两点之间的距离保持不变。有这样性质的变换是很特殊的，因而，绝不是每个变换（或一一映射）都能具有的。 以1代表顶点A，2代表顶点B，而3代表顶点C。并以M来记这三个顶点的集合，即M={l，2，3}。于是，该三角形的诸对称变换就能用集合M的置换来表示了。 我们用βl表示关于轴l1的反射，βl就相当于顶点集合M的置换 关于轴l2，l3的反射β2，β3相当于顶点集合M的置换 为了方便起见，我们把保持正三角形所有点不动的运动（或者说没作运动）也看成是它的一个对称变换，叫作恒等变换，用e来表示。自然，恒等变换相当于顶点集合的置换 正三角形一共有多少个对称变换？ 上面已经给出了6个不同的对称变换，它们是恒等变换e，旋转变换αl，α2，和反射变换βl，β2，β3。 除了这6个变换之外是否还有其他的对称变换呢？ 答案是没有了。 因为如果还有一个，譬如叫σ。则σ也对应于顶点集合{1，2，3}的一个置换。但我们能很容易看出集合M={l，2，3}只有上述的6个置换。这是因为对于任意置换σ，1的像有三种可能，即1，2，或3。一旦确定了1的像，由于σ把不同的点变成不同的点，2的像不能等于1的像，于是2的像只有两种可能。一旦l和2的像都确定了，同样的道理，3的像不能等于1的像，也不能等于2的像，于是它只有唯一的一种可能。这样，集合{1，2，3}到自身的置换就一共有3·2·1=6个。至此，我们就证明了正三角形只有所给出的