湘教版高中数学选修4-1几何证明选讲圆幂定理.ppt

圆幂定理 一 与圆有关的比例线段 二 圆内接四边形 （1）相交弦定理 （2）割线定理 （3）切割线定理 圆幂定理 相交弦定理 圆的两条相交弦，被交点分成两段的积相等 一 与圆有关的比例线段 已知：如图，⊙O的两条弦AB、CD相交 于圆内一点P， 求证：PA·PB＝PC·PD 割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条 割线与圆的交点的两条线段的积相等 一 与圆有关的比例线段 已知：如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条 割线PBA与PDC，与⊙O分别交于点A、B 与C、D 求证：PA·PB＝PC·PD 切割线定理 从圆外一点引圆的一条割线与一条切线， 切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段 的等比中项 一 与圆有关的比例线段 已知：如图，从⊙O外一点P引⊙O的割线 PBA与切线PC，与⊙O分别交于点A、B与 C 求证：PA·PB＝PC2 若一个多边形各顶点都在同一个圆上，那么，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。 二 圆内接四边形 如图，四边形ABCD为圆内接四边形；⊙O为四边形ABCD外接圆。 C O D B A 如图：圆内接四边形ABCD中， ∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角 ∴∠A＋∠C＝ 180° 同理∠B＋∠D＝180° 圆内接四边形的对角互补。 如果延长BC到E，那么∠DCE＋∠BCD ＝ 180° 所以∠A＝∠DCE 又 ∠A ＋∠BCD＝ 180° 因为∠A是与∠DCE相邻的内角∠DCB的对角，我们把∠A叫做∠DCE的内对角。 圆内接四边形的一个 外角等于它的内对角。 C O D B A 性质定理： 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内角的对角。（内对角） 综上： 判定定理： 如果一个四边形对角互补，那么这个四边形的四点共圆； 如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。 D’ 反证法：以Ｄ在圆外为例 证明四点共圆：通常三点做圆，证明第四点就在这个圆上；或者两个三点做圆，两圆一致 例3如图7，⊙1和⊙O2都经过A、B两点，经过 点A的直线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D 经过点B的直线EF与⊙O1交于点E，与⊙O2交于 点F．求证：CE∥DF． 例2 如图6，已知AD是△ABC的外角 ∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC． （1）求证：FB＝FC； （2）若AB是△ABC的外接圆的直径， ∠EAC ＝120°，BC＝6，求AD的长． C 例1 如图5，AB是⊙O的直径，C是⊙O 外一点，且AC＝AB，BC交⊙O于点D． 已知BC＝4，AD＝6，AC交⊙O于点E， 求四边形ABDE的周长． 谢谢！