湘教版高中数学选修4-4坐标系与参数方程矩阵表示的变换.ppt

矩阵表示的变换 第1章讨论的旋转、反射、位似、伸缩、投影变换都是线性变换，都可以由矩阵表示。 第1章讨论的只是一些特殊的线性变换。它们的几何性质各不相同。有的保持图形的形状和大小不变，变换前后的图形全等，如旋转和反射，有的虽然改变图形的大小，但保持形状不变，变换前后的图形相似，如位似变换。伸缩变换改变了图形的形状，将圆变成椭圆，但仍将直线变成直线，投影变换将整个平面变到一条直线，将某些直线变成一个点。 观察并比较变换前后的图形，看有什么变化，是否有什么性质保持不变。 原来的每个正方形变成什么图形？所画的曲线图形变成什么图形？ 由于所有的点的y坐标不变，平行或重合于x轴的直线y=a仍变为自身。 由变换式①中可解出x=x-y=x-y，因此，平行于y轴的直线x=a变成x-y=a，即y=x-a，仍是一条直线，仍然过点(a,0)，但斜率为1，倾斜角为45°。 但这些直线x=a并非沿顺时针方向旋转45°，而是由于直线上的点P(x，y)向右(当y0时)或向左(当y0时)平行移动到P (x+y，y)而导致的直线倾斜。原来的边平行于坐标轴的正方形都被变成平行四边形，圆被变成椭圆。而曲线图形也被相应地向右倾斜变形。 为了验证这个变换是否将直线变成直线，求任何一条直线Ax+By+C=0在这个变换下的像的方程。 为此,将x=x-y，y=y代人直线方程，得到A(x-y)+By+C=0，整理得Ax+(B-A)y+C=0，图像仍是一条直线。 一般地,由矩阵 表示的变换都是将平行或重合于x轴的直线沿着与x轴平行的方向移动，带动垂直于x轴的直线向右或向左倾斜，这样的变换称为沿x方向的切变。 类似地,由矩阵 表示的变换则是沿y方向的切变。图2-2是矩阵 表示的切变的效果。 观察发现： 直线仍变成直线。 全等的正方形变成全等的平行四边形，由正方形组成的等距离网格变成由平行四边形组成的等距离网格。 正方形形状被改变了。但正方形也是平行四边形，仍被变成平行四边形。 这说明：平行直线仍变成平行直线。同一方向上长度相等的线段仍变成同一方向上长度相等的线段。 这些性质是否对由其他矩阵决定的线性变换也成立？可以更换矩阵重新画图观察。在观察的基础上，进行理论证明。 谢 谢