第一章第四讲抽象函数与分段函数.doc

第4讲 抽象函数与分段函数 课程目标 1.掌握抽象函数与分段函数的有关概念； 2.熟练掌握抽象函数与分段函数的解题方法； 课程重点 抽象函数与分段函数的解题方法 课程难点 抽象函数与分段函数的解题方法 教学方法建议 通过经典考题知识点细致梳理，对“抽象函数与分段函数”部分出现高考题型和方法精讲精练，对不同层次学生可以分层教学，一对一可以就学生的层次有针对性的选择例题讲解。层次较好的学员可以全部讲解 选材程度及数量 课堂精讲例题 搭配课堂训练题 课后作业 A类 （ 7 ）道 （13 ）道 （ 10）道 B类 （ 1 ）道 （ 2 ）道 （ 2 ）道 C类 （ 0 ）道 （ 0 ）道 （ 0 ）道 一：考纲解读、有的放矢 分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数．由于分段函数更能深刻地考查函数的各种性质，且在现实生活中具有广泛应用，因此对分段函数有关内容的学习显得尤其重要，抽象函数难度大，抽象度高，是高考的热点。 二:核心梳理、茅塞顿开 1.解决抽象函数问题主要方法是赋值法，和模特函数法； 2.分段函数的主要问题和方法：求自变量（或定义域）问题这类问题先求出各分段上的解，然后再合并，体现了“先分后合”的思想。求函数值（或值域）问题求函数值（或值域）关键在于“对号入座”：即看清待求函数值的自变量所在区域，再用分段函数的定义即可解决。求解析式及作图问题 求分段函数解析式主要是指已知函数在某一区间上的图象或解析式，求此函数在另一区间上的解析式，常用解法是利用函数性质、待定系数法及数形结合法等。 分段函数作图要特别注意定义域的限制及关键点（如端点、最值点）的准确性。 三：例题诠释，举一反三 知识点1：抽象函数问题 例1．（江苏泰兴市重点中学2011届 C）已知函数 SKIPIF 1 0 的定义域为 SKIPIF 1 0 ，对任意实数 SKIPIF 1 0 都有 SKIPIF 1 0 ，且当 SKIPIF 1 0 时 SKIPIF 1 0 ， （1）求 SKIPIF 1 0 的值，并证明当 SKIPIF 1 0 时 SKIPIF 1 0 ； （2）证明 SKIPIF 1 0 在R上是减函数； （3）已知 SKIPIF 1 0 ，若不等式 SKIPIF 1 0 的解集为（ SKIPIF 1 0 ），求 SKIPIF 1 0 的值. （4）设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 ，试确定实数 SKIPIF 1 0 的取值范围。 （5）若实数x、y满足： SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，求z=x+y 的取值范围. （注：函数关系式也可改为 SKIPIF 1 0 ） 解：（1）∵对任意实数m，n都有 SKIPIF 1 0 ， ∴ SKIPIF 1 0 又∵当 SKIPIF 1 0 时 SKIPIF 1 0 ，∴ SKIPIF 1 0 . ∵ SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 时 SKIPIF 1 0 从而 SKIPIF 1 0 ∴ SKIPIF 1 0 时 SKIPIF 1 0 . （2）设任意 SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ∴ SKIPIF 1 0 在R上是减函数. （3）因为 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 。所以原不等式等价于 SKIPIF 1 0 。 因为 SKIPIF 1 0 在R上递减，所以不等式等价 SKIPIF 1 0 ， 依题可知 SKIPIF 1 0 是方程 SKIPIF 1 0 两根，由违达定理得 SKIPIF 1 0 （4）∵ SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ∴欲使 SKIP