高等数学函数的极值与最值-第2节课2.ppt

中值定理与导数的应用 四、最值问题 内容小结 2. 连续函数的最值 * A B C D y o x y = f (x) a b 函数的极值 1. 极值定义 设函数 f(x) 在点 x0 的某邻域内有定义，且对该邻域内任意的 x 值 (x?x0)，若恒有 (1) f(x0)f(x)，则称 f(x) 在点 x0 取得极大值 f(x0) ； (2) f(x0)f(x)，则称 f(x) 在点 x0 取得极小值 f(x0). 注意： 1、极值是一个局部的概念； 2、极大值并不一定比极小值大； 3、极值与极值点是两个不同的概念：极值是指函数的一个值，而极值点是指函数达到极值的一个点，应有横坐标和纵坐标。 2. 费马(Fermat)引理.（极值的必要条件） 如果函数 y= f(x) 在点 x0 取得极值，且 f ?(x0) 存在，则 f ?(x0)=0。 A B C D y o x a b 例如, 注1： 注2：极值点有可能是导数不存在的点 又如, （极小值） x y O x0 x0 是极大值点 f(x0) 是极大值 f ?(x0)=0 f ?(x)0 f ?(x)0 x y O x0 x0 是极小值点 f(x0) 是极小值 f ?(x0)=0 f ?(x)0 f ?(x)0 极值第一充分条件：设函数 f(x) 在点 x0 的邻域内可导，且 f ?(x0)=0 或 f ?(x0) 不存在，当 x 由小变大经过 x0 时： (1) f ?(x) 符号由正变负，则 f(x) 在 x0点处有极大值 f(x0)； (2) f ?(x) 符号由负变正，则 f(x) 在 x0点处有极小值 f(x0 )； (3) f ?(x) 符号不变，则 f(x) 在 x0 点无极值。 换言之 利用极值判定的第一充分条件，求可导函数 y=f(x) 极值的步骤： 1. 确定函数 y=f(x) 的定义域； 2. 求出函数的一阶导数 f? (x)； 3. 并求出全部驻点及导数不存在的点； 4. 考察 f? (x) 在每个点左、右邻近的符 号，从而确定此点是否是极值点； 5. 求出相应的极值; 例1 解 列表讨论 极大值 极小值 函数的定义域为 例2 解 函数的定义域为 因此，遇到一阶导数不存在的点，或驻点的二阶导数为零，只能用极值判定的第一充分条件来判断。 例4 极小值点 极大值点 极小值点 例4 总结可得求函数极值的一般方法： 2、求出一阶导数等于零或不存在的点； 3、用第一充分条件或第二充分条件来判别这些点是否为极值点，是极大值点还是极小值点; 4、求出极大值点和极小值点的函数值，即得函数的极大值和极小值。 1、确定函数 y=f(x) 的定义域； 综合可得判断函数单调区间及极值的一般步骤： 1、确定函数的定义域； 2、求出定义域中一阶导数等于零及一阶导数不存在的点; 以这些特殊点为端点，把定义域划分为若干个互不重叠的开区间. 4、按讨论结果, 写出函数的单调区间； 并求出函数的极大值和极小值. 3、利用一阶导数的符号，判断函数的单调性; 利用第一充分条件或第二充分条件来判别上述特殊点（驻点或一阶导数不存在的点）是否为极值点，是极大值点还是极小值点； 在很多学科领域与实际问题中， 经常遇到在一定条件下 如何用料最省、成本最低、时间最短、效益最高等问题， 这类问题我们称为最优化问题. 在数学上，它们常归结为 求某一个函数（称为目标函数）在某个范围内的最大值、 最小值问题（简称为最值问题）． 我们来看一下下面的几幅图： （1） 求出函数 f(x) 在 [a,b] 上的所有驻点及一阶导数不存在的点处的函数值； （2）求出区间端点的函数值 f(a) 和 f(b)； （3）以上函数值中最大的就是最大值，最小的就是最小值. 求最值的方法： 例5 注意： (1)、在闭区间上单调增加的连续函数，最小值必在区间的左端点取得；最大值必在区间的右端点取得. 如果函数是单调减少的，则与此相反. (2)、如果连续函数在闭区间内只有一个极值，则它若是极大值便是最大值，若是极小值便是最小值. y = f (x) y o a b x x0 y = f (x) y o a b x x0 1. 连续函数的极值 (1) 极值可疑点 : 使导数为0 或不存在的点 (2) 第一充分条件 过 由正变负 为极大值 过 由负变正 为极小值 (3) 第二充分条件 为极大值 为极小值 * *