多元复合函数的求导解析(修改).doc

闽江学院 数学小论文 题目 ： 多元复合函数的求导解析 学生姓名： 学 号： 系 别：： 化学与化学工程系 年 级： 2010级 专 业： 高分子材料与工程 完成日期： 2010.04.30 SKIPIF 1 0 多元复合函数的求导解析 闽江学院化工系高分班 郭培芬 120101206113 摘要 在一元函数中，复合函数的求导公式在求导时起着重要的作用，对于多元函数情形也是如此。由于多元复合函数的中间变量和自变量往往不只一个，且复合关系也远比一元函数复杂，所以要掌握变量之间的复合关系。 关键词 复合函数求导 中间变量 自变量 复合关系 由一元函数微分学得知，若函数x=g(t)在点t可导，函数g=f(x)在其对应点x可导,则复合函数y=f(g(t))在点t可导，且有 SKIPIF 1 0 ，现在我们把这一复合函数的求导法推广到多远函数。我们都知道，一般刚接触到复合函数，我们都会弄不清它们的关系，而多元复合函数又比一元复合函数来得复杂。为了直观地反映变量之间的关系，可以画出它们的复合关系图，即链式法则。设z=f(u,v)是自变量u、v二元函数，而u=u(x,y),v=v(x,y)是自变量x、y的二元函数，则z=f(u(x,y),v(x,y))是x、y的复合函数，u、v称为中间变量。它的复合关系图如图 z u x v y 从一元复合函数的求导法则推广到多元复合函数，但是多元的复合比一元复合情形复杂的多，为此我将其中间变量归结为以下几种情形：中间变量都为一元函数的情形、中间变量都为多元函数的情形、中间变量既有一元函数也有多元函数的情形、某变量既是中间变量又是自变量的情形。 中间变量都为一元函数的情形 SKIPIF 1 0 如果函数 SKIPIF 1 0 都在点x可导，函熟 SKIPIF 1 0 在对应点 SKIPIF 1 0 有连续的偏导数，则复合函数 SKIPIF 1 0 在点x可导，且有 SKIPIF 1 0 也称为全导数 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 （1·1·1） 证明：设当自变量x的改变量为 SKIPIF 1 0 时，中间变量 SKIPIF 1 0 的改变量分别为 SKIPIF 1 0 ，函数的改变了为 SKIPIF 1 0 ,依条件，函数 SKIPIF 1 0 可微，于是有 SKIPIF 1 0 其中 SKIPIF 1 0 ，将上式两边同时除以 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 z u x SKIPIF 1 0 v y 因为函数 SKIPIF 1 0 图1-1-1 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 如图1-1-1反映了公式（1·1· 上述复合函数求导法则可以推广到三元以及三元以上的多元复合函数，例如，对于三元函数 SKIPIF 1 0 ，其中间变量 SKIPIF 1 0 在满足定理的前提下对x可导，而且 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 解：因为 SKIPIF 1