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第6章 常微分方程数值解法 §1 引言 §2 欧拉法和改进的欧拉法 §3 龙格-库塔法 §4 阿当姆斯方法 §1 引言 在高等数学里我们已经接触过常微分方程，对于一些典型的常微分方程，有求解析解的基本方法，但多数情况下，遇到的问题比较复杂，此时，只能利用近似方法求解，一般有两种近似方法 。 设f(x，y)在带形区域R：｛a≤x≤b，-∞＜y＜+∞｝上为x，y的连续函数，且对任意的y满足李普希茨(Libusize)条件 ｜f(x ，y1)-f(x ，y2)｜≤L｜y1-y2｜ 其中( x ，y1)、( x ，y2)∈R，L为正常数。 上的准确解y(x)的近似值 y0，y1，y2，…，yn §2 欧拉法和改进的欧拉法 一、欧拉方法 1. 基本思想 区间[a，b]上给定n+1个点x0，x1，x2，……xn 再用yi近似地代替y(xi)，则初值问题(6-1)(6-2) 就化为 2．几何意义 欧拉公式有很明显的几何意义。我们知道初值问题(6.1) 中的微分方程的解是xoy平面上的一簇积分曲线 这簇积分曲线上任意点(x，y)的斜率为f(x，y)， 而初值问题(6.1) (6.2)的解是过点(x0，y0)的一条特定的积分曲线。 二、欧拉方法的误差分析 定义1(p146) 对于初值问题，当假设yi是准确的时，用某种方法求yi+1时所产生的截断误差称为该方法的局部截断误差 。 我们来看在第i+1步使用欧拉方法所得yi+1的局部截断误差y(xi+1)-yi+1 y(xi+1)=y(xi+h)= y(xi) + hy′(xi) + y″(ξ)/2*h2 yi+1=yi+hf(xi,yi)=y(xi) + hf(xi,y(xi)) = y(xi) + hy′(xi) 定义2 (p147) 设yi是用某种方法计算初值问题(6-1)(6-2)在xi点的近似解，而y(xi)是它的精确解，则称 为该方法的整体截断误差，也称为该方法的精度。 补：若某方法的局部截断误差为O(hp+1)，则该方法的精度为p阶的。 三、改进的欧拉法 欧拉法虽然形式简单，计算方便，但比较粗糙，精度也低。特别当y=y(x)的曲线曲率较大时，欧拉法的效果更差。为了构造较高精度的数值解法，对初值问题 再做分析 为了得到更精确的方法我们可使用梯形公式 例2: 证明解常微分方程初值问题的梯形方法精度是二阶的 证明: 所以: 四、预报-校正方法 我们看到梯形法虽然提高了精度，但其算法复杂，每算一点，都需进行反复迭代，为了控制计算量，通常只迭代一两次就转入下一步计算，以简化算法。 具体地说，我们先用欧拉公式求一个初步的近似值 例3 用预报-校正公式求解初值问题 练习1: 用Euler法解 练习2: 用改进Euler法（梯形公式）解 练习3 :用预报—校正方法求 §3 龙格库塔法 一、基本思想 对初值问题 若用这种方法研究欧拉公式，可以发现欧拉公式仅取一个点(xi,yi)的斜率f(xi,yi)代替k*，梯形公式却是利用xi与xi+1两个点的斜率值 它也启发我们若设法在[xi,xi+1]上多找几个点的斜率值，然后将它们加权平均作为K*的近似值，则有可能构造出精度更高的计算公式，这就是Runge-Kutta方法的基本思想。 二、Runge-Kutta公式 我们以两点xi，xi+p=xi+αh为例，说明(6-14)式中系数的求法 例 4 用经典的龙格-库塔法计算 取步长h=0.2 解：由x0=0，y0=1，h=0.2，利用公式(6-20)可计算出 表6-3 补充-----单步法的收敛性和稳定性 计算过程中舍入误差总是存在的，以Euler法为例。 假设，由于舍入误差的影响，实际得到的是….. 1. 单步法的收敛性 补充定义1: 设y(x)是初值问题(6.2)的精确解,对单步法 补充定义2：用单步法解模型方程 得到解满足稳定性方程 若 ,就称此方法是绝对稳定的 在复平面上,所有满足 所围成的区域称为方法的绝对稳定区域. 例5：求Euler法的绝对稳定区间 §6.4 阿达姆斯方法 我们已经知道，初值问题(6―1)等价于积分方程，即 对积分式分别采用矩形和梯形