20120226城建考研第六章定积分的应用(上).ppt

6.旋转体的侧面积 * * 第 六 章 定 积 分 的 应 用 第六章 定积分的应用 这个方法通常叫做元素法． 1.根据具体情况， 选取积分变量， 如： x. 确定x的变化 区间[a,b]. 2.把区间[a,b]分成n个小区间， 取一代表区间 求出该区间上所求量的部分量的近似表达式 量U的微分元素. 3.写出定积分的表达式： 先作图 用元素法求量U的一般步骤： 使用元素法时应注意： (1) U是与一个变量x的变化区间[a,b]有关的量. (2) U对于区间[a,b]具有可加性， 则U相应地分成许多 即如果把区间 [a,b]分成许多部分区间， 部分量， 而U等于所有部分量之和. 则U在[a,b] 上的值可由定积分 示为 (3) 在[a,b]中任取的小区间 上的部分量 与区间长度 可以通过x的某函数 乘积近似表 来计算. 一、定积分在几何学上的应用 1. 直角坐标系下平面图形面积的计算 （1）设曲线 与直线 及 x 轴所围曲 则 边梯形面积为 A , (2)由曲线 所围图形的面积. 其面积元素为： 则面积为 上曲线 下曲线 (3) 为曲边， 以 以[c,d]为底的曲边梯形 (4)由曲线 所围图形的面积. 其面积元素为： 则面积为 右曲线 左曲线 x o y c d x y o c d y+dy y y+dy y 的面积A. 2. 极坐标系下平面图形面积的计算 求由曲线 及 围成的曲边扇形的面积 . 在区间 上任取小区间 则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为 所求曲边扇形的面积为 3.已知平行截面面积函数的立体体积 设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), 则在小区间 的体积元素为 立体体积为： 上连续, x A(x) x a V b 曲边梯形 旋转一周围成的旋转体的体积为： 曲边梯形 绕 y 轴旋转一周围成的旋转体体积为： 4.旋转体的体积 a b f (x) y x 0 x dx 求旋转体体积— 柱壳法 . 曲边梯形 y= f (x) ， x=a,x=b,y=0 旋转的体积. 绕 y 轴生成的 x a b y x 0 内表面积 . dx dV= 2? x f (x)dx f (x) 曲边梯形 y= f (x) ， x=a,x=b,y=0 旋转的体积. 求旋转体体积— 柱壳法 绕 y 轴生成的 o y x 围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周 而成的立体的体积. 所以：由连续曲线 直线x=a、 x=b(ab) 及x轴所 类似地， 如果旋转体是由连续曲线 直线 及 轴所围成的曲边梯形绕 轴旋转一周 而成的立体的体积. x y o c d y+dy y 例 计算摆线 的一拱与 y＝0 所围成的图形绕 y 轴旋转而成的立体体积 . 说明: 用柱壳法求 较好 柱壳体积 柱面面积 5. 弧长 (数1、数2) y x o a b （2）参数方程 （3）极坐标方程 注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小 设平面光滑曲线 求 它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 . 积分后得旋转体的侧面积 取侧面积元素: (数1、数2) 侧面积元素 的线性主部 . 若光滑曲线由参数方程 给出, 则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的 不是薄片侧面积△S 的 注意: 侧面积为 解 y+dy y o y x d c o y x X型 Y型 请熟记以下公式： 解 典型例题分析 x o r 圆极坐标方程 直角坐标方程 y o x y 2a o x y 2a 圆极坐标方程 直角坐标方程 圆极坐标方程 直角坐标方程