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§2 无穷积分的性质与收敛判别 三、狄利克雷判别法与阿贝尔判别法 例2 讨论 的敛散性. * * 首页 × 一、无穷积分的性质 二、比较判别法 任给 ＞0， 首页 × 一、无穷积分的性质 限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则. G≥a，只要u1、u2＞G，便有 由定义知道，无穷积分 收敛与否， 取决于函数 F（u）= 在u→+∞ 时是否存在极限. 因此由函数极 定理11.1 无穷积分收敛的充要条件是： 存在 . 柯西收敛准则 有定义, 则极限 存在的充要条件是: 任 定理3.11 设 f (x) 在 的某个邻域 上 首页 × 为任意常数，则 若 与 都收敛， 首页 × 性质1 (线性性质) k1、k2 也收敛，且 . 与 同敛态（即同时收敛或同时发散），且有 若f在任何有限区间[a，u]上可积，a＜b， (2) 其中右边第一项是定积分. 性质2 则 所以 与 同敛态（即同时收敛或同时 发散），且有 . 当 时, 首页 × 说明: (1) 性质2相当于定积分的积分区间可加性; (2) 由性质2及无穷积分的收敛定义可推出 收敛的另一充要条件: 任给 ＞0，存在G≥a，当u＞G时， 总有 事实上， 收敛 J= 当 时, 当 时, . 敛，则 亦必收敛，并有 性质3 若f 在任何有限区间[a，u] 上可积，且有 收 （3） . 当 收敛时， 称 为绝对收敛, 称收敛而不绝 对收敛者为条件收敛. 性质3指出： 绝对收敛 收敛. 但其逆命题一般不成立， 今后将举例说明收敛的无穷积分不一定绝对收敛(本节例4中 当0＜p≤1时 条件收敛). 则当　　　 首页 × 发散）. 二、比较判别法 可积，由于 关于上限u是单调递增的， 因此 收敛的充要条件是 存在上界. 根据这一分析，便立 即导出下述比较判别法： 定理11.2（比较法则） 设定义在[a，+∞]上的两个非负函数f 和g 都在任何有限区间[a，u]上可积， 且满足 收敛时， 必收敛 （或者，当 发散时， 设f是定义在[a，+∞)上的非负函数，且在任何有限区间上 首页 × 以及 例1 讨论 的收敛性 解 由于 收敛 （§1例4）， 根据比较法则， 为绝对收敛. 首页 × （ⅱ）当c=0时， 推论1 若f 和g都在任何[a，u]上可积，g(x)＞0, 且 ， 则有 （ⅰ）当0＜c＜+∞时， 与 同敛态； 由 收敛可推知 也收敛； （ⅲ）当c=+∞时， 由 发散可推知 也发散. 上述比较法则的极限形式如下 ＜+∞时， （ⅱ）当p≤1，0＜ ≤+∞时， 首页 × 推论2 设 f 定义于 （ⅰ）当 ，x∈ ，且p＞1时 收敛； （ⅱ）当 ，x∈ ，且p≤1时 发散. 推论3 设f定义于 在任何有限区间[a，u]上可积，且 （ⅰ）当p＞1，0≤ 发散. 收敛； (a＞0)， 且在任何有限区间[a，u] 上可积，则有： ， 则有： =0），推知1）对任何实数 都有 首页 × 例3 讨论下列无穷限积分的收敛性： 1） ； 2） . 是同一回事. 1）由于对任何实数 都是收敛的. 因此根据上述推论3（p=2， 2）由于 本例中两个被积函数都是非负的， =1， 因此根据上述推论3（p= ， =1）， 推知2）是发散的. 解 故收敛与绝对收敛 首页 × 练习 讨论下列无穷限积分的收敛性： 1） ； 2） . 3） 首页 × 三、狄利克雷判别法与阿贝尔判别法 这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法. 若F(u)= 在 g(x)在 上当x→+∞时单调趋于0， 收敛. 定理11.3（狄利克雷判别法） 则 上有界， 推论