2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第2章第11节变化率与导数、导数的计算.ppt

第十一节 变化率与导数、导数的计算 [主干知识梳理] 一、导数的概念 1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 (1)定义： 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 (2)几何意义： 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点 处的 (瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为 ． 二、基本初等函数的导数公式 4．复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝ ，即y对x的导数等于 的 与 的导数的乘积． 4．函数y＝xcos x－sin x的导数为________． 解析　y′＝(xcos x)′－(sin x)′＝x′cos x＋x(cos x)′ －cos x ＝cos x－xsin x－cos x ＝－xsin x. 答案　－xsin x 5．(2014·湖北黄冈一模)已知函数f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3) (x－4)(x－5)，则f′(0)＝__________． 解析　f′(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)＋x[(x－1) (x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]′， ∴f′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120. 答案　－120 [关键要点点拨] 1．函数求导的原则 对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误． 2．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别与联系 (1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线． (2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． [规律方法] 求导时应注意： (1)求导之前利用代数或三角恒等变换对函数进行化简可减少运算量． (2)对于商式的函数若在求导之前变形，则可以避免使用商的导数法则，减少失误． (3)复合函数求导的关键是分清函数的复合形式，其导数为两层导数的积，必要时可换元处理． [典题导入] (2014·济南模拟)已知函数f(x)＝mx3＋2nx2－12x的减区间是(－2，2)． (1)试求m、n的值； (2)过点A(1，t)是否存在与曲线y＝f(x)相切的3条切线，若存在，求实数t的取值范围；若不存在，请说明理由． [互动探究] 在本例条件下，求过点A(1，－11)且与曲线y＝f(x)相切的切线方程． 解析　由例3知m＝1，n＝0. ∴f(x)＝x3－12x. ∴f′(x)＝3x2－12，∵f(1)＝13－12×1＝－11， ∴当A为切点时，k＝f′(1)＝－9. ∴切线方程为9x＋y＋2＝0. 当A不为切点时，设切点P(x0，f(x0))， ∴k＝f′(x0)＝3x－12. [跟踪训练] 3．(1)(2012·新课标全国卷)曲线y＝x(3ln x＋1)在点(1，1)处的切线方程为________． 解析　y′＝3ln x＋1＋3，所以曲线在点(1，1)处的切线斜率为4，所以切线方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3. 答案　y＝4x－3 　 (2014·上海徐汇摸底)已知函数f(x)＝x3－3x，过点P(－2，－2)作曲线y＝f(x)的切线，则切线的方程为__________． 【错解】　由f(x)＝x3－3x知f′(x)＝3x2－3， ∴k＝f′(－2)＝3×4－3＝9. ∴切线方程为y＋2＝9(x＋2)， ∴y＝9x＋16. 【错因】　上述解法中易认为P(－2，2)是曲线切线的切点，从而导致解答中缺少一种解的可能性． 【解析】　①当P(－2，－2)为切点时， 切线方程为y＝9x＋16； ②当P(－2，－2)不是切点时， 设切点为(a，b)，则b＝a3－3a，由于y′＝3x2－3， 所以切线的斜率k＝3a2－3， 【高手支招】　求曲线的切线方程时要注意过某点的切线问题中此点不一定是切点，此点也可能不在曲线上，所以要先判断再去解决，切忌盲目地认为给出点就是切点． 【创新探究】　忽视判断点是否为切点而致误 第二章 函数