柯西积分公式和高阶导数公式.ppt

第三章 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三节 柯西积分公式和高阶 一、柯西积分公式 二、高阶导数公式 三、调和函数 导数公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 解析， 内一点， 是 一、柯西积分公式 是正向简单闭曲线， 设 上及其内部 在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 解析， 内一点， 是 二、高阶导数公式 是正向简单闭曲线， 设 上及其内部 在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 公式 常用于计算积分： 这两个积分的被积函数分别为： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1 计算积分 解： 圆周 内包含 而函数 在 内解析， 所以 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2 计算积分 解： 圆周 内包含 而函数 在 内解析， 所以 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3 计算积分 解： 圆周 内包含 而函数 在 内解析， 所以 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4 计算积分 解： 圆周 内包含 而函数 在 内解析， 所以 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5 计算积分 解： 其中 机动 目录 上页 下页 返回 结束 原积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、调和函数 定义： 设 在区域 内具有二阶连续偏导数， 并且满足拉普拉斯方程 那么称 为区域 内的调和函数. 定义： 且满足柯西 - 黎曼方程 设 都是 内的调和函数， 则称 是共轭调和函数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理： 任何在区域 内解析的函数， 它的实部和 虚部都是 内的调和函数. 例6 解： 证明 为调和函数， 并求其共轭 调和函数 和由它们构成的解析函数. 所以 即 为调和函数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由 得 所以 又由 得， 即 故 因此 得解析函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例7 解： 已知一调和函数 求一解析函数 使 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由 得， 即 故 因此 得解析函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 即 由 得， 所以