第五节反常重积分.doc

第五节 反常重积分 本节将研究无界区域或无界函数的情形.着重就二重积分进行讨论. 一、无界区域上的反常积分 设Γ是曲线，令记号： SKIPIF 1 0 . 定义1 设D是平面R2中无界区域，它的边界有有限条光滑曲线所组成 , Γ是任一条面积为0的连续有界曲线, Γ将D分割成若干部分, 其中到(0,0) 距离最小的有界部分(或其一)记为D(Γ)(如图), SKIPIF 1 0 是D上的函数, 并且在D的任意有界可求面积的子集上可积. 如果 SKIPIF 1 0 存在, 则称 SKIPIF 1 0 在D上可积, 这个极限称为 SKIPIF 1 0 在D上的反常二重积分. 还是记作: yD SKIPIF 1 0 , 即 SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 . 当 SKIPIF 1 0 在无界区域D上可积时, 称 SKIPIF 1 0 收敛. 如果 SKIPIF 1 0 不存在, 我们还用 SKIPIF 1 0 这个记号, 也称为 SKIPIF 1 0 在上的反常二重积分, 但这时我们称这个反常二重积分发散. y D D( D(Γ) x x Γ Γ 图12-5-1 图12-5-1 其中我们说D(Γ)是Γ从D中割出的有界区域. 显然若 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 在D上可积，则 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 在D上可积. 定理 12.16 设D是平面R2中无界区域， SKIPIF 1 0 是D上的函数, SKIPIF 1 0 ≥0. SKIPIF 1 0 是一列分段光滑曲线,如定义中,它们将D分割出有界子区域 SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 ,及 SKIPIF 1 0 , 那么 SKIPIF 1 0 收敛的充分必要条件是数列 SKIPIF 1 0 收敛,并且 SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 . 证明 由定义,必要性是显然的.只要证充分性. 注意到 SKIPIF 1 0 是单调增数列, 当记 SKIPIF 1 0 时. ∪ SKIPIF 1 0 . 对任意一条分段光滑曲线Γ, 它从D割出的有界可求面积的区域D(Γ),由于条件知,存在N1, 当nN1时, D(Γ) Dn , ∪ SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 . 对任意ε0, 存在N20, 当n N2时, SKIPIF 1 0 . 所以, 对分段光滑曲线Γ, D(Γ)为有界区域. 当 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 时, SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 从而有极限的定义知, SKIPIF 1 0 ,所以 SKIPIF 1 0 收敛.并有上面的等式. 例1 求 SKIPIF 1 0 的值. 解 设自然数n , 取Γn : SKIPIF 1 0 . SKIPIF 1 0 所以， SKIPIF 1 0 即，原反常积分收敛. 对自然数n, 再取Γ’n : SKIPIF 1 0 . 那么也有 SKIPIF 1 0 从而我们可得如下的概率积分: SKIPIF 1 0 . 定理 12.17 (比较判别法) 设D是平面R2中无界区域， SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 是D上的函数, 在D的任何有界可求面积的子区域上可积,并且 SKIPIF 1 0 .那么 (1)当 SKIPIF 1 0 收敛时, SKIPIF 1 0 收敛时; (2)当 SKIPIF 1 0 发散时, SKIPIF 1 0 发散时. 证明留给读者. 定义12.18 设D是平面R2中无界区域， SKIPIF 1 0 在D上的可积函数的充分必要条件是 SKIPIF 1 0 在D上的可积. 证明 充分性 设|f(x,y)| 在D上的可积, 令 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 显然, SKIPIF 1 0