第八节多元函数的极值及其求法 .ppt

第八节 多元函数的极值及其求法 * 一、多元函数的极值 二、多元函数最值 三、条件极值 一、多元函数极值（一元函数极值的推广） 有定义， 的某邻域 则称函数在 有极大值； 则称函数在 有极小值； 极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点. 设函数 在点 1.极值的定义 例1 例２ 例３ z x y o x y z o x y z o 2、多元函数取得极值的条件 证 必要条件 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点. 驻点 极值点 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 注意： 例如, 点 是函数 的驻点， 但不是极值点. 定理2（充分条件） 设函数 在点 的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数， 处是否取得极值的条件如下： （1） （2） （3） 时可能有极值,也可能没有极值， 还需另作讨论． 例4 求函数 解 第一步 求驻点: 得驻点: (1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2) . 第二步 判别: 解方程组 的极值. 求二阶偏导数 在点(?3,0) 处 在点(?3,2) 处 为极大值. 在点(1,2)处 在点(1,0)处 为极小值; (1,0) (1,2) (-3,0) (-3,2) 第一步 解方程组 第二步 对于每一个驻点 求出实数解，得驻点. 求出二阶偏导数的值A、B、C. 第三步 定出 的符号， 再判定是否是极值. 求最值的一般方法： 将函数在D内的所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中 最大者即为最大值，最小者即为最小值. 与一元函数相类似，我们可以利用函数的 极值来求函数的最大值和最小值. 二、多元函数的最值 解 如图, 先求函数在D内的驻点， 例5 求二元函数 在直线 所围成的闭区域 D上的最大值与最小值. 解方程组 得区域 内唯一驻点 再求 在D边界上的最值： 在边界 上， 一元函数 的极值 即 比较函数值后可知： 可取得最大收益？ 每天的收益为 某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶 进价2元，外地牌子每瓶进价3元，店主估计， 如果本地牌子的每瓶卖x元，外地牌子的每瓶卖 y元，则每天可卖出 瓶本地牌子 的果汁， 瓶外地牌子的果汁. 问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁 解 目标函数 例6 目标函数 求驻点： 令 解得 根据题意可知，最大值一定存在，并在开区域 内取得， 又函数在D内 只有唯一驻点 因此可断定本地的 饮料价格约定为4.85元，外地的约为4.46元时， 收益最大. 三、条件极值及拉格朗日乘数法 无条件极值：对于变量仅限制了定义域. 条件极值：除了定义域之外，对函数的自变量 还有附加条件的极值问题. 这200元以达到最佳效果． 在条件 下的极值点． 实例：小王有200元钱，他决定用来购买两类 急需物品：参考书和录音磁带，设他购买x本 书, y盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为 设每本书20元，每盒磁带10元，问他如何分配 问题的实质： 求 例7 则问题为:求x , y , z， 解 设 x , y , z 分别表示长、宽、高, 试问水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？ 要设计一个容量为 的长方体开口水箱, 方法1 将条件 代入表面积函数,则 使在条件 水箱表面积 最小. 下, 将条件极值转化为无条件极值 方法2 拉格朗日乘数法 拉格朗日乘数法 为某一常数，称为拉格朗日乘子， 其中 解出 其中x,y就是可能的极值点的坐标. 在条件 下的可能极值点. 要找函数 先构造函数 （称拉格朗日函数） 可由 例7 试问水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？ 要设计一个容量为 的长方体开口水箱, 水箱表面积 最小. 设拉格朗日函数： 方法2 由 得唯一驻点 由题意可知合理的设计是存在的, 长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省. 因此 , 当高为 （1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何? 提示: 利用对称性可知, （2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价最省, 应如何设拉格朗日函数? 提示: 长、宽、高尺寸相等 . 思考 长、宽、高尺寸如何? 其中 均为常数,可由偏导数为零及条件解出 ，即得极值点的坐标. 先构造函数 拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况： 这200元以达到最佳效果． 例8 小王有200元钱，他决定用来购买两类 急需物品：参考书和录音磁带，设他购买x本 书, y盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为 设每本书20元，每盒磁带10元，问他如何分配 求 提示： 可用两种方法. 目标函数 方法1 转化为无条件极值 由附加条件得 依题意，买5本书，10盒磁