概率论的发展简介和应用.doc

中国计量学院 毕业设计（论文）文献综述 学生姓名： 陈静莉 学 号： 0700802116 专 业： 数学与应用数学 班 级： 07数学1班 设计（论文）题目： Taylor公式的一些应用 指导教师： 罗先发 二级学院： 理学院 2011年 3 月 在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。 泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，在很多领域有重要的应用，如在近似计算、求极限问题、解决中值问题、估计无穷小（大）量的阶、判定级数的敛散性、研究函数的泰勒展开等方面，通过查阅大量文献资料，以下将通过泰勒公式的内容以及各方面的应用定理来介绍泰勒公式。 ◇泰勒公式 泰勒公式的定义 定义 SKIPIF 1 0 ：对于一般函数 SKIPIF 1 0 ，设它在点 SKIPIF 1 0 存在直到 SKIPIF 1 0 阶的导数，由这些导数构造一个 SKIPIF 1 0 次多项式: SKIPIF 1 0 称为函数 SKIPIF 1 0 在点 SKIPIF 1 0 处的泰勒(Taylor)多项式， SKIPIF 1 0 的各项系数: SKIPIF 1 0 称为泰勒级数； 带有佩亚诺（Peano）型余项的泰勒公式 定理 SKIPIF 1 0 ：若函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 存在直至 SKIPIF 1 0 阶导数,则有 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 （1） 称(1)式为函数 SKIPIF 1 0 在点 SKIPIF 1 0 处的泰勒公式， SKIPIF 1 0 称为泰勒公式的余项，形如 SKIPIF 1 0 的余项为佩亚诺（Peano）型余项,所以（1）式又称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式。 若 SKIPIF 1 0 在点 SKIPIF 1 0 附近满足 SKIPIF 1 0 （2） 其中 SKIPIF 1 0 ，这时并不意味着 SKIPIF 1 0 必定就是 SKIPIF 1 0 的泰勒多项式 SKIPIF 1 0 ； 满足（2）式要求（即带有佩亚诺型误差）的 SKIPIF 1 0 次逼近多项式 SKIPIF 1 0 是唯一的； 当 SKIPIF 1 0 =0时的特殊形式： SKIPIF 1 0 它也称为（带有佩亚诺余项的）麦克劳林（Maclaurin）公式。 带有拉格朗日（Lagrange）型余项的泰勒公式 定理 SKIPIF 1 0 （泰勒定理）若函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上存在直至 SKIPIF 1 0 阶的连续导函数，在 SKIPIF 1 0 内存在 SKIPIF 1 0 阶导函数，则对任意给定的 SKIPIF 1 0 ，至少存在一点 SKIPIF 1 0 ，使得： SKIPIF 1 0 （3）式同样称为泰勒公式，它的余项为： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， 称为拉格朗日（Lagrange）型余项，所以（3）式又称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式。 SKIPIF 1 0