CH10-4可降阶的二阶微分方程.ppt

作业P3961（奇数），2，3 * * * * * * * * * * 第十章 微分方程与差分方程 10.1 微分方程的基本概念 10.2 一阶微分方程 10.3 一阶微分方程在经济学中的综合应用 10.4 可降阶的二阶微分方程 10.5 二阶常系数线性微分方程 10.6 差分与差分方程的概念、常系数线性差分方程解的结构 10.7 一阶常系数线性差分方程 10.8 二阶常系数线性差分方程 10.9 差分方程的简单经济应用 第四节 可降阶的二阶微分方程 降阶法 再次积分，得通解为: 这种类型的方程的解法，可推广到n阶微分方程： 只要连续积分n次, 就可得到这个方程的含有n个 任意常数的通解. 解法：将 y′视为新的未知函数， 特点： 解 解 对所给方程接连积分三次? 得 例 求微分方程y????e2x－cos x 的通解? 这就是所给方程的通解? 解法：令 y′= P(x) , 特点： 代入原方程, 得 根据前面的变换又可得到一个一阶微分方程： 对它进行积分，即可得到原方程的通解： 例4 求解 解 代入方程得 分离变量 积分得 利用 于是有 两端再积分得 利用 因此所求特解为 解此线性微分方程有： 特点：不显含自变量x. 解法：把y暂时看作自变量，并作变换： 问题：是否有 ？代入原式得 ？ 特点：不显含自变量x. 解法：把y暂时看作自变量，并作变换： 由复合函数的求导法则有： 这样就将原方程就化为 前式是一个关于变量y、p 的一阶微分方程. 设它的通解为： 这是可分离变量的方程，对其积分即得到原方程的通解： 解 代入原方程得 原方程通解为 例5 练习 解初值问题 解 令 代入方程得 积分得 利用初始条件, 根据 积分得 故所求特解为 得 为曲边的曲边梯形面积 上述两直线与 x 轴围成的三角形面 思考题 二阶可导, 且 上任一点 P(x, y) 作该曲线的 切线及 x 轴的垂线, 区间[ 0, x ] 上以 解 于是 在点 P(x, y) 处的切线倾角为? , 满足的方程 . 积记为 ( 考研 ) 再利用 y (0) = 1 得 利用 得 两边对 x 求导, 得 初始条件为 方程化为 利用初始条件得 得 故所求曲线方程为