高等数学(下)课件D12习题课.ppt

一、数项级数的审敛法 3. 任意项级数审敛法 二、求幂级数收敛域的方法 三、幂级数和函数的求法 练习: 练习: 四、函数的幂级数和付式级数展开法 谢谢大家！ ? 直接展开法 ? 间接展开法 练习: 1. 将函数 展开成 x 的幂级数. — 利用已知展式的函数及幂级数性质 — 利用泰勒公式 解: 1. 函数的幂级数展开法 * * 级数的收敛、求和与展开 三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数 一、数项级数的审敛法 二、求幂级数收敛域的方法 第十二章 求和 展开 (在收敛域内进行) 基本问题：判别敛散； 求收敛域； 求和函数； 级数展开. 时为数项级数; 时为幂级数; 1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 正项级数审敛法 必要条件 不满足 发 散 满足 比值审敛法 根值审敛法 收 敛 发 散 不定 比较审敛法 用它法判别 积分判别法 部分和极限 为收敛级数 Leibniz判别法: 若 且 则交错级数 收敛 , 概念: 且余项 若 收敛 , 称 绝对收敛 若 发散 , 称 条件收敛 设∑un和∑vn都是正项级数, 且un?kvn(k0, ?n?N). 若级数∑vn收敛, 则级数∑un收敛; 若级数∑un发散, 则级数∑vn发散. p?级数的收敛性 证 比较审敛法 例1 定理3(比较审敛法的极限形式) 解 例2 解 定理 (比较审敛法的极限形式) 例3 收敛? 当??1(或????)时级数发散? 当??1时级数可能收敛也可能发散? 定理 (比值审敛法? 达朗贝尔判别法) 解 所以? 根据比值审敛法可知所给级数收敛? 例4 证明级数 是收敛的? 所以? 根据比值审敛法可知所给级数发散? 下页 解 收敛? 当??1(或????)时级数发散? 当??1时级数可能收敛也可能发散? 定理 (比值审敛法? 达朗贝尔判别法) 例5 提示: 所以? 根据比值审敛法可知所给级数收敛? 下页 解 收敛? 当??1(或????)时级数发散? 当??1时级数可能收敛也可能发散? 定理 (比值审敛法? 达朗贝尔判别法) 例6 定理 (极限审敛法) 因为 解 根据极限审敛法? 知所给级数收敛? 下页 例7 定理 (极限审敛法) 因为 解 根据极限审敛法? 知所给级数收敛? 首页 例8 这是一个交错级数. 解 由莱布尼茨定理, 级数是收敛的, 且其和su1?1, 首页 则级数收敛, 且其和s?u1, 其余项rn的绝对值|rn|?un?1. 定理 (莱布尼茨定理) 因为此级数满足 例12 例9 三、绝对收敛与条件收敛 绝对收敛与条件收敛 定理 (绝对收敛与收敛的关系) 应注意的问题? 下页 解 下页 定理 (绝对收敛与收敛的关系) 例13 例10 结束 定理 (绝对收敛与收敛的关系) 解 例14 例11 ? 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R , 再讨论 ? 非标准形式幂级数 通过换元转化为标准形式 直接用比值法或根值法 处的敛散性 . 题7. 求下列级数的敛散区间: 下页 因此, 收敛域为(?1, 1]. 解 定理 (收敛半径的求法) 例12 解 因为 所以收敛半径为R???, 从而收敛域为(??, ??). 下页 定理 (收敛半径的求法) 例13 解 因为 所以收敛半径为R?0, 即级数仅在x?0处收敛. 下页 定理 (收敛半径的求法) 例14 提示: 此级数缺少奇次幂的项, 前述求收敛半径的方法不能直接应用. 提示: 解 这种缺项幂级数一般用比值审敛法来求收敛半径. 当4|x|21即|x| 时级数收敛; 当4|x|21即|x| 时级数发散, 下页 例15 这种缺项幂级数一般用比值审敛法来求收敛半径. 当4|x|21即|x| 时级数收敛; 当4|x|21即|x| 时级数发散, 下页 解 例16 解 所以收敛半径R?2. 所以原级数的收敛域为[?1, 3). 即?2?x?12, 或?1?x3, 因此收敛域为?2?t2, 首页 例17 ? 求部分和式极限 求和 ? 映射变换法 逐项求导或求积分