常微分方程--第三章-一阶微分方程的解的存在定理(3.3-3.4).pptVIP

初值问题 例1 解 由公式得 §3.4 奇 解 一、包络和奇解 1 包络的定义 定义1：对于给定的一个单参数曲线族： 曲线族(3.23)的包络是指这样的曲线, 它本身不包含在 曲线(3.23)中,但过这曲线的每一点有(3.23)中的一条曲线和它在这点相切. 对于给定的一个单参数曲线族： 其中 为参数. 若存在一条曲线 满足下列条件: (1) (2) 对任意的 存在唯一的 使得 且 与 在 有相同的切线. 则称 为曲线族 的一条包络线, 简称为包络. 或定义： 例如 单参数曲线族： （其中R是常数，c是参数）表示圆心为（c,0）而半径等于R的一族圆. 如图 R 从图形可见,此曲线族的包络显然为: 注:并不是每个曲线族都有包络. 例如: 单参数曲线族: (其中c为参数)表示一族同心圆. 如图 从图形可见, 此曲线族没有包络. 问题:对于给定的单参数曲线族: 如何判断它是否有包络? 如果有包络, 如何求? 根据定义, 假设该单参数曲线族有包络 则对任意的 存在唯一的 使得 于是得到对应关系: 从而得到二元函数 使得 若 可用参数形式表示为: 记 则 于是, 上任取一个固定点M, 则M在某一条曲线 上. 由于 与 在M点有相同的切线, 而 与 在M点的切线的斜率 分别为 与 所以, 有 从而 由于在 上不同的点也在不同的 上, 即 因此 现在 因此, 包络线 任意一点M不仅要满足 而且还要满足 把联立方程组: 中消去参数c得到的方程F(x,y)=0所表示的曲线 称为曲线族 的c-判别曲线 2 包络的求法 曲线族(3.23)的包络包含在下列两方程 注: 解: 记 则 即 例1: 的包络. 求曲线族 因此c-判别曲线包括两条曲线(3.32)和(3.33), x y O 例2: 求直线族: 的包络. 这里 是参数, 是常数. 解: 记 则 消去参数 得 的c-判别曲线: 经验证 是曲线族 的包络. 如图: O x y 3 奇解 定义2: 微分方程的某一解称为奇解,如果在这个解的每一点还有方程的另外一个解存在. 注:一阶微分方程的通解的包络一定是奇解;反之微分方程的奇解(若存在)也是微分方程的包络. 例如: 4 奇解的求法 方程 的奇解包含在由方程组 注: 例3: 求微分方程 的奇解. 解: 从 消去p(实际上p=0), 得到p-判别曲线 即 由于方程的通解为: 三、克莱罗（Clairaut）方程 1 定义3: 形如 的方程，称为克莱罗(Clairaut)方程. 为求它的解, 令 得 经化简,得 2 克莱罗(Clairaut)方程的求解 这是y已解出的一阶微分方程. 如果 则得到 于是, Clairaut方程的通解为: 如果 它与等式 联立, 则得到Clairaut方程的以p为参数的解: 或 其中c为参数. 消去参数p便得方程的一个解. 结果: Clairaut方程 的通解 是一直线族, 此直线族的包络 或 是Clairaut方程的奇积分曲线, 所对应的解是奇解. 如果令 则 因此, 求得此解的过程正好与从通解中求包络的手续一样. 易验证, 此参数曲线恰为通解的包络 例4: 求解方程 解: 这是Clairaut方程, 因而它有通解: 其中 因为 所以 从 中消去参数c, 得到原方程的奇解: x y O 如图: 故, 此方程的通解是直线族: 而奇解是通解的包络: * * §3.3 解对初值的连续性和可微性定理 考察 的解 对初值的一些基本性质 解对初值的连续性 解对初值和参数的连续性 解对初值的可微性 内容: y x G 图例分析(见右) 解可看成是关于 的三元函数 满足 解对初值的对称性: 前提 解存在唯一 例: 初值问题的解不单依赖于自变量 , 同时也依赖于初值 . 初值变动,相应的初值问题的解也将随之变动. ………… Q:当初值发生变化时,对应的解是如何变化的? 当初始值微小变动时,方程的解变化是否也是很小呢？ 证明 则由解的唯一性知, 即此解也可写成: 且显然有: 按解的存在范围是否有限,又分成下面两个问题: Q1: 解在某有限闭区间[a,b]上有定义,讨论初值 的 微小变化对解的影响情况,称为解对初值的连续性.内容 包括:当初值发生小的变化时,所得到的解是否仍在[a,b] 上有定义以及解在整个区间[a,b]上是否也变化很小? Q2: 解在某个无限闭区间 上有定义,讨论初值 的微小变化是否仍有解在 上有定义,且解在整个 区间 上变化也很小?这种问题称为解的稳定性 问题,将在第六章中讨论. 一 解对初值的连续性 定义 设初值问题 1.解对初值的连续依