第一节平面向量的概念及线性运算.ppt

第五单元 平面向量与复数 * 第一节 平面向量的概念及其线性运算 基础梳理 1.向量的有关概念及其表示法 常用 表示 记作 ， 向量_______ 模_________ 表示法 长度等于 个单位长度的向量 长度为 的向量;其方向是任意的 既有 又有 的量;向量的大小叫做向量 的 (或） ， 定义 单位向量 零向量 向量 名称 大小 方向 长度 模 0 1 e (1)a的相反向量记作 , ①a+0=0+a=a ②a+(-a)=(-a)+a=0 (2)0的相反向量为____ 长度 且方向______的向量 相反向量 a与b相等记作 长度 且方向_____的向量 相等向量 0与任一向量 ， 向量又叫做共线向量 共线向量 a与b共线可记为 方向 或 的非零向量 平行向量 0 相同 相反 平行 相等 相同 a＝b a∥b 共线 相反 相等 －a 2.向量的线性运算 a-b= . (1)交换律: a+b= . (2)结合律: (a+b)+c=____ 运算律 法则(或几何意义) 求两个向量差的运算 . 求两个向量和的运算法则 , . 定义 减法 加法 向量运算 三角形 平行四边形 b＋a a＋(b＋c) 三角形 a＋(－b) λ(μa)= ; (λ+μ)a= ; λ(a+b)= . (1)|λa|= . (2)当λ0时,λa与a的方向 ; 当λ0时,λa与a的方向 ; 当a=0时，λa=0; 当λ=0时,λa= . 求实数λ与向量a的积的运算 数乘 3. 向量共线定理 非零向量a与向量b共线的充要条件:存在唯一一个实数λ,使 . λa＋λb |λ||a| 相同 相反 0 (λμ)a λa＋μa b＝λa(a≠0) 基础达标 1. (必修4P57习题3改编)如图,O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED,OCFB都是正方形，在图中所示的向量中，与向量AE相等的向量是 ，与向量BF共线的向量是 ，与向量CF的模相等的向量是 . 　解析：由向量的相关定义结合正方形的性质可知． 　 2. (必修4P66习题6改编) 已知向量a,b,且5(x+a)+3(x-b)=0， 则x= . 解析：原式可变形为5x＋5a＋3x－3b＝0， ∴8x=-5a+3b，∴x= 3. 一辆汽车向西行驶了10千米，然后改变方向向南行驶了10千米，则该汽车两次位移的和为 . 西南方向10 千米 解析：如图所示， 所以 ，方向为西南方向． 4. (2011·如东中学考试)已知△ABC，若点M满 足AB+AC-3AM=0,则MA+MB+MC= . 0 　解析：由已知得 5. 已知e1,e2是不共线向量，a=ke1+e2,b=e1+ke2, 若a∥b,则k= . 　解析：∵a∥b，∴由向量共线等价条件得： a＝λb(λ∈R)，即ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)， ∴(k－λ)e1＋(1－λk)e2＝0， 又∵e1，e2不共线，由平面向量基本定理得 ∴k＝±1. ±1 经典例题 题型一 平面向量的有关概念 【例1】给出下列五个命题: ①两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同; ②若|a|=|b|,则a=b; ③在ABCD中,一定有AB=DC; ④若m=n,n=p,则m=p; ⑤若a∥b,b∥c,则a∥c. 其中正确的序号是 . ③④ 分析 在正确理解有关概念的基础上，注意特殊 的情况，是解决本题的关键． 解： 若两个向量起点相同，终点相同，则两 向量相等，但两个向量相等，不一定有相同 的起点和终点，所以①不正确；|a|＝|b|，但 a，b方向不确定，所以a，b不一定相等， 故②不正确；零向量与任一非零向量都平行， 当b＝0时，a与c不一定平行，故⑤不正确