复变函数 课件.ppt

* * 第五章 解析函数的洛朗展式 与孤立奇点 §1. 解析函数的洛朗(Laurent)展式 §2.解析函数的孤立奇点 §3.解析函数在无穷远点的性质 §4.整函数与亚纯函数的概念 1.1 双边幂级数 1.2 解析函数的洛朗展式 1.3 洛朗级数与泰勒级数的关系 1.4 解析函数在孤立奇点邻域内的 洛朗展式 §1. 解析函数的洛朗(Laurent)展式 引言： 由§4.3 知, f (z) 在 z0 解析，则 f (z)总可以 在z0 的某一个圆域 ?z - z0?R 内展开成 z - z0 的幂级数。 若 f (z) 在 z0 点不解析，在 z0的邻域中就不可能展开成 z - z0 的幂级数，但如果在圆环域 R1?z - z0?R2 内解析， 那么，f (z)能否用级数表示呢？（本章要讨论的问题） 例如: 由此推想，若f (z) 在R 1?z - z0?R2 内解析, f (z)可以展开成幂级数，只是这个级数可能含有负幂次项,即 本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解析 的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解 析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数 和计算留数的基础。 1.1 双边幂级数 ---含有正负幂项的级数 定义 形如 ---称为双边幂级数 正幂项(包括常数项)部分： 负幂项部分： 级数(2)是一幂级数，设收敛半径为R2 ， 则级数在 ?z - z0?=R2 内收敛，且和为s(z)+; 在?z - z0?=R 2外发散。 z0 R1 R2 z0 R2 R1 定理5.1 (2)在圆环域的边界?z - z0?=R1, ?z - z0?=R2上, 1.2 解析函数的洛朗展式 定理 证明 由复连通域上的Cauchy 积分公式： D z0 R1 R2 r R k1 k2 D1 z 记为I1 记为I2 式(*1),(*2)中系数cn的积分分别是在k2， k1上进 行的，在D内取绕z0的简单闭曲线c，由复合闭路 定理可将cn写成统一式子： 证毕！ 注： (2)在许多实际应用中，经常遇到f (z)在奇点 z0的邻域内解析，需要把f (z)展成级数，那么 　　 就利用洛朗（ Laurent ）级数来展开。 级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为 洛朗级数的解析部分和主要部分。 展开式的唯一性 结论 一个在某一圆环域内解析的函数展开为含 有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是f (z) 的洛朗级数。 事实上， D z0 R1 R2 c D z0 R1 R2 c 由唯一性，将函数展开成Laurent级数，可 用间接法。在大都数情况，均采用这一简便的方 法求函数在指定圆环域内的Laurent展开式，只有 在个别情况下，才直接采用公式(5)求Laurent系 数的方法。 1.3 洛朗级数与泰勒级数的关系 一个函数f(z)可以在奇点展开为洛朗级数，也可在非奇点展开。此时的圆可以看成圆环的特殊情况。其中 的都等于零(由系数公式可看出)。因此泰勒级数是洛朗级数的特殊情况。 例1 x y o 1 2 x y o 1 2 x y o 1 2 解: 没 有 奇 点