第二节 偏导数.doc

偏导数 要求：掌握二元函数偏导数的概念并了解其几何意义。熟练地求出多元函数的一，二阶偏导数。 重点：二元（三元）函数偏导数的计算。 难点：求分段函数分段偏导数，函数的连续，偏导数存间关系。 作业：习题8－2（ SKIPIF 1 0 ） SKIPIF 1 0 一．二元函数增量 设函数 SKIPIF 1 0 在点 SKIPIF 1 0 的某邻域内有定义，当 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 取得增量 SKIPIF 1 0 ，而 SKIPIF 1 0 保持不变时，函数 SKIPIF 1 0 得到一个改变量 SKIPIF 1 0 称为函数 SKIPIF 1 0 对于 SKIPIF 1 0 的偏增量． 类似地 SKIPIF 1 0 称为函数 SKIPIF 1 0 对于 SKIPIF 1 0 的偏增量． 对于自变量分别在 SKIPIF 1 0 取得增量 SKIPIF 1 0 ，而函数 SKIPIF 1 0 相应的增量 SKIPIF 1 0 称为函数 SKIPIF 1 0 的全增量． 二．偏导数的定义及其计算法 问题提出：在研究一元函数时，引入导数是为了精确地刻画函数的变化率，对于二元函数同样要研究其变化率，这要比一元函数问题复杂的多，因为从定义域内某点 SKIPIF 1 0 出发，作为自变量的点 SKIPIF 1 0 可沿不同方向变化，一般地讲沿不同方向函数的变化率也各不同，这里我们着重考虑当 SKIPIF 1 0 沿着平行于 SKIPIF 1 0 轴，平行于 SKIPIF 1 0 轴方向变化时，函数的变化情况．只要 SKIPIF 1 0 在变动，而 SKIPIF 1 0 固定为 SKIPIF 1 0 ，则二元函数 SKIPIF 1 0 变为一元函数 SKIPIF 1 0 ，它对 SKIPIF 1 0 的导数称为二元函数 SKIPIF 1 0 对 SKIPIF 1 0 的偏导数． 1．偏导数定义 定义：设函数 SKIPIF 1 0 在点 SKIPIF 1 0 的某一邻域内有定义，当 SKIPIF 1 0 固定在 SKIPIF 1 0 ，而 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 处有增量 SKIPIF 1 0 时，相应地函数有偏增量 SKIPIF 1 0 若增量比的极限 SKIPIF 1 0 存在，则称此极限值为函数 SKIPIF 1 0 在点 SKIPIF 1 0 处对 SKIPIF 1 0 的偏导数． 记为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ． 类似地，函数 SKIPIF 1 0 在点 SKIPIF 1 0 处对 SKIPIF 1 0 的偏导数定义为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 说明 如果函数 SKIPIF 1 0 在区域 SKIPIF 1 0 内每一点 SKIPIF 1 0 处对 SKIPIF 1 0 或对 SKIPIF 1 0 的偏导数都存在，那么这个偏导数就是 SKIPIF 1 0 的二元函数，称为函数 SKIPIF 1 0 对自变量 SKIPIF 1 0 或对 SKIPIF 1 0 的偏导函数，简称偏导数． 记 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （ SKIPIF 1 0