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不定积分知识点复习 令 考虑公式 不定积分作为高等数学中的一个重要内容,前后连接着导数(或微分)与定积分的内容. 它既是求导思想的逆向运用, 也是定积分的基础. 同时它本身在数学, 物理等领域的实际模型构造中有着重要作用. 因此, 不定积分的学习既可以巩固基础数学知识, 学习常用技巧, 培养数学思维, 又有显著的实际应用性. 谢 谢 大 家 ！ * 知识总述 原函数与不定积分概念 不定积分性质 不定积分基本解法 习题 小结 一, 知识总述 前面我们学习了一元函数微分学. 但在实际的科学领域中, 我们常常遇到与此相反的问题: 即寻求一个(可导)函数, 要求其导数等于一个已知函数. 这样就产生了一元函数积分学. 积分学分为不定积分和定积分两部分. 本章我们学习的是不定积分, 先从导数的逆运算引出不定积分的概念. 然后介绍了其性质, 最后系统地介绍一些常用的积分方法. 返回 不定积分的基本概念和性质---理解基本积分公式---熟记分部积分法和换元积分法---熟练运用 换元积分法---如何做变量代换分部积分法---如何选取分部积分公式中的“u”和“v” 难点： 重点： 分部积分公式: 返回 基本要求 ①正确理解原函数和不定积分概念 ②熟记基本积分公式 ③熟练地运用换元积分法和分部积分法 ④能用待定系数法求基本的有理函数积分 返回 例 定义： 二, 原函数与不定积分概念 返回 若存在可导函数 对原函数的研究须讨论解决下面两个问题 (1) 是否任何一个函数都存在原函数？ 考察如下的例子 则由 的定义 关于原函数的说明： 返回 （左、右极限存在且相等） 而已知 这样得到矛盾. 这说明 没有原函数. 既然不是每一个函数都有原函数, 那么具备什么条件的函数才有原函数? 连续函数都有原函数. 对此我们有如下的结论: 返回 （2）原函数是否唯一? 若不唯一, 它们之间有 什么联系? ①若 ，则对于任意常数 ， ②若 和 都是 的原函数， 则 （ 为任意常数） 返回 任意常数 积分号 被积函数 不定积分的定义： 被积表达式 积分变量 为求不定积分,只须求出被积函数的一个原函数,再加上积分常数即可. 返回 例1 求 解: 解: 例2 求 返回 例3 设曲线通过点(1，2), 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍, 求此曲线方程. 解: 设曲线方程为 根据题意知 由曲线通过点（1，2） 所求曲线方程为 返回 由不定积分的定义，可知 微分运算与求不定积分(不考虑后面的常数C )是逆运算。 结论： 返回 此性质可推广到有限多个函数之和的情况 三, 不定积分的性质 返回 即线性组合的不定积分等于不定积分的线性组合. 注意到上式中有n个积分号, 形式上含有n个任意常数, 但由于任意常数的线性组合仍是任意常数, 故实际上只含有一个任意常数. 结合结论(1)与(2), 我们可以得到 返回 实例 提问: 能否根据求导公式得出积分公式？ 既然积分运算和微分运算是互逆的, 因此可以根据求导公式得出积分公式. 四, 不定积分的基本解法 返回 基本积分表 ? 是常数); 说明： 简写为 返回 返回 以上13个公式是求不定积分的基础, 称为基本积分表, 必须熟练掌握. 返回 例4 求积分 解: 根据积分公式（2） 返回 例5 求积分 解: 注 1, 从该题中我们可以看出熟记基本积分表的 重要性. 2, 检验积分结果是否正确, 只要把最后的结果 求导, 看其导数是否等于被积函数. 返回 (第一类换元法) 例6 求积分 解: 原式 令u=2x+1, 上式 返回 (第二类换元法) 例7 求积分 那么 解: 原式 返回 (分部积分法) 例8 求积分 那么 解: 原式 将 看做公式中的 看做公式中的 返回 例9 求积分 解: 原式 (有理函数积分法) 返回 解: 所求曲线方程为 返回 说明 ①求不定积分时一定要加上积分常数, 它表明一个函数的原函数有无穷多个, 即要求的是全体原函数, 若不加积分常数则表示只求出了其中一个原函数. ②写成分项积分后, 积分常数可以只写一个. ③积分的结果在形式上可能有所不同, 但实质上 只相差一个常数. 返回 求下列不定积分. 五, 习题 返回 六, 小结 返回