函数的和差积商的求导法则.ppt

导数与微分 第二节导数运算法则 一、函数和、差、积、商的运算法则 二、复合函数的运算法则 三、反函数求导法则 四、隐函数求导法则 五、参数方程所确定的函数的导数 六、高阶导数 一、和、差、积、商的求导法则 二、复合函数的求导法则 三、反函数求导法则 * * 定理2.2.1 如果函数u(x),v(x)在点处可导，则他们的和、差、积、商（分母不为零）在点x处也可导。并且 证(3) 证(1)、(2)略. 推论 例1 解 例2 解 同理可得 例3 解 同理可得 即 例4 解 即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则) 定理2.2.2 如果函数u=g(x)在x0点处可导,而y=f(u)在点u0=g(x0)可导, 则复合函数y=f(φ(x))在点x0处可导，且导数为 证 推广 例5 解 设 例6 解 设 例7 解 例8 解 当x0时， 当x0时， 例9 解 例10 设气体以100cm3 /s的常速注入球状的气球，假设气体的压力 不变，那么当半径为10cm时，气球的半径增加的速率是多少？ 解 设t时刻气球的体积和半径分别为V和r。显然 例11 若水以2cm3min的速度灌入高为10cm，底面半径为5cm的圆锥形（倒立的）水槽中，问水深为6cm时，水位上升的速度为多少？ 解 设t时刻水槽的体积和水面的半径分别为V和x， 水的深度y。所以 y x 10 5 所以 所以当水深为6m时，水位上升速度约为 0.071m/min。 例13 设 x 0 解 因为 例12 解 定理2.2.3 如果函数y=f(x)的反函数x=φ(y)在某区间M内单调，可导且，那么它的反函数在对应区间D内也可导，且有 即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 证 于是有 x x+?x y y+?y 例14 解 特别地 例15 解 同理可得 例16 解 同理可得 例17 解 例18 四、初等函数的导数公式 1基本初等函数的导数公式 2.函数的和、差、积、商的求导法则 设 ) ( ), ( x v v x u u = = 可导，则 （ 1 ） v u v u ￠ ￠ = ￠ ) ( , （ 2 ） u c cu ￠ = ￠ ) ( （ 3 ） v u v u uv ￠ + ￠ = ￠ ) ( , （ 4 ） ) 0 ( ) ( 2 1 ￠ - ￠ = ￠ v v v u v u v u . ( 是常数) 3.复合函数的求导法则 利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决. 注意:初等函数的导数仍为初等函数. 例19 解 因为 ，所以 类似地 例19 解 因为 ，所以