概率论与数理统计 第二章 随机变量及其分布.pdf

第二章 随机变量及其分布 §1 随机变量的概念与离散型随机变量 §1.1 随机变量的概念 • 为了全面地研究随机试验的结果,揭示客观存在 着的统计规律性,我们将随机试验的结果与实数 对应起来,将随机试验的结果数量化, 引入随机 变量的概念. 在许多带有随机因素的实际问题中,我们往往 只关心某些数据,如电子元件的寿命、车站的候车 人数等等.此外人们还发现建立数和人或其他事物 的对应关系会带来许多便利, 比如每一个学生可以 用一个学号与之对应,城市的每一间房屋可以用一 个门牌号与之对应,工厂生产的同一种型号产品, 比 如计算机,可以用一个代码与之对应. 同样,建立数 和基本事件的对应关系将有助于我们利用现有的 一些数学方法对随机现象作进一步的研究. 定义:设随机试验 E 的样本空间 {},如果对任意 的基本事件 ,有一个实数X X () 与之对应,就 称 X 为随机变量. 通常,我们用大写字母X 、Y 、Z等表示随机变量. • 引入随机变量后,就可以用随机变量X描述 事件.一般对于任意的实数集合L,{X ∈L}表示 事件{e|X(e)∈L}. 例：设 10 件产品中有 8 件合格品和 2 件不合格品, 从中随机抽取一件,令 1，　取到合格品 X  0，取到不合格品 则 X 是一个随机变量，它只取两个可能值 0 和 1. 如果我们把产品编号,1 到 8 号为合格品,9 到 10 号为 不合格品,样本空间可表示为 { , , }  ,其中 表 1 10 i 示取到第i 号产品.这时基本事件与随机变量的对应 关系为 　 1, i 1, ,8  X (i )  0,　i 9,10 例：考察一个医院每天的就诊人数 X,则 X 是一个随 机变量,它的取值范围是X 0,1,2, . 例：观察公交车站上乘客的等车时间 X,X 是一个随机 变量,它的取值范围是某一个区间. 例：记录中央电视台新闻联播节目的播出时间长度 X ，则 X 也是一个随机变量，它的取值范围也是一 个区间. §1.2 离散型随机变量 定义：如果随机变量 X 所有可能取的值只有有限 个 或 可 列 无 限 多 个 ( 即 可 以 和 自 然 数 集 N {1,2,,n,} 中的元素 1-1 对应),则称 X 为离散 型随机变量. 设离散型随机变量 X 所有可能取的值为 x ,x ,,X 取值为xk 的概率为 1 2 P (X x ) p k 1,2,  , . k k 称为离散型随机变量X 的概率分布或分布律. 分布律还可以简单地表示为： X x 1 x2 … xk … P p 1 p2 … pk … 分布律具有以下性质: 1. p k