第三章 随机变量及其分布.pdf

 第三章 随机变量及其分布  §3.1 随机变量的概念  引子：实际需要:在第一、二章中我们主要 论述了可以用有限样本空间描述的随机试验。 我们研究了事件概率的指定与计算。实际上人 们观察了定义在结果空间上的函数。因为，若 把一枚硬币抛掷n次，人们并不关心样本空间 中的个n元组哪一个已发生，更确切地说，人 们希望知道在n次抛掷中出现正面的次数。 1 在靠碰运气取胜的游戏中，人们感兴趣 的是某一游戏者净胜或者净输多少。在 第一、二章中我们实际上已涉及到这种 还没有用术语随机变量来定义的函数。 理论需要：随机变量概念的引进和研究 是概率论发展中的重大事件，它使概率 论的研究从事件扩大为随机变量，这样 2 就利于使用精细的数学工具实变函数来 进行研究和处理，使概率论成为一门真 正的数学学科。随机变量与实变量的实 值函数之间主要区别在于概率分布的有 关概念，但是高等微积分或实分析知识 仍是研究随机变量以及它们的概率分布 的基本工具。  3  直观上，我们把随机现象的每一种表 现，把随机试验的每一个要观察到的结果叫做 随机事件。有些E的结果本身是数量，有些虽 然本身并不是数量但可以数量化。这样的量随 着E的重复可以取不同的值，并且在每次E中究 竟取什么值事先无法确切预言，是带有随机性 的。自然地称这样的变量为随机变量。因此， 4 直观上随机变量即在随机试验中被测量 的量。 例1 向一目标射击n次，共命中目标次数 （或随意抽验n件产品其中不合格品的件 数），它有n+1个可能值：0，1，2…， n 。 例2 接连不断地射击，首次命中目标需 要的射击次数，它可取任意的自然数 1 5 例3 在长为t的时间内，某交换台接到呼 叫的次数，它可取任何非负整数值。v(t) 例4 一自动装置无故障运转的时间，它  可取区间（0， ）上的任何值。 例5 随机测量的误差（例在分析天平上 称量某物品的实际称量结果与该物品的 质量之差）其值域为（, ） 例6 掷硬币试验中被测量的量： 1, 正面  X X e  0, 反面  6 于是X 是随机试验结果的数量化。  （1）在n重的贝努里E中总成功次数X ， X 表示第i次贝努里E成功次（ i 1,n ） i 1, 成功  X i X i