第七讲直线与平面所成的角、二面角.pptVIP

第七讲　直线与平面所成的角、二面角 学习目标 基础落实 金典例题 1.了解射影的概念，了解直线与平面所成的角的概念. 2.了解二面角及二面角相关的概念. 3.会解决一些关于线面角、二面角的简单问题. 1．如果直线m是平面α的斜线，则在平面α内( ) A．不存在与m垂直的直线 B．与m垂直的直线只有一条 C．不存在与m异面的直线 D．不存在与m平行的直线 　　　　　选D.若存在与m平行的直线，则m∥α或mα，与m是α的斜线矛盾，故不存在与m平行的直线. 　　2．过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥　α，垂足为O，连接PA，PB，PC. 　(1)若PA＝PB＝PC，∠C＝90°，则点O是三角形AB边的　 　点． 　(2)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的 心． 　(3)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的 心． （1）填中；（2）填外；（3）填垂. 3．如图，棱长都为a的正四棱锥中. (1)侧棱与底面所成的角为 ； (2)侧面与底面所成的锐二面角的平面角的正弦值为 . 　　　（1）填45°；(2)填　　. 　　(1)此正棱锥的高为　　a，故侧棱与底面所成的角为45°. 　　（2）设侧面与底面所成的角为α， 　　则sinα＝　　　　　. 4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中． (1)B1B与平面A1BC1所成的角的余弦值为 ； (2)二面角D1－BC－A的大小为 . 　　　（1）填　　；(2)填45°. 　　（1）三棱锥B1－A1BC1为正三棱锥，设B1B与面A1BC1所成的角为θ，则cosθ＝　　　　　　. 　　（2）二面角D1-BC－A的平面角为∠D1CD,其大小为45°. 射影的概念 　　　某几何体的一条棱长为　，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为(　　) 　　A.　　　B.　　　C.4　　D. 　　　　选C.结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算， 　　如图，对角线AC1＝7,则AD1＝6,C1D＝a，A1C1＝b， 　　设AB＝x，BC＝y，BB1＝z， 　　则有： 　　x2＋y2＋z2＝7, 　　y2＋z2＝6, 　　a2＝x2＋z2, 　　b2＝x2＋y2, 所以a2＋b2＝8, 又因为（a＋b）2≤2（a2＋b2）＝16, 所以a＋b≤4,当且仅当a＝b时取等号. 理解投影的概念、构造长方体模型是解本题的关键. 　　1.如图，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是　　　（要求：把可能的图的序号都填上）. 　　　　填②③.四边形BFD1E在面ADD1A1和面BCC1B1上的射影是③，在面DCC1D1、面ABB1A1、面ABCD和面A1B1C1D1上的射影是②. 　　　如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝1，D1C与平面ABCD所成的角为30°，D1A与BC所成的角为45°. (1)求D1B与平面BCC1B1所成角的正弦值； (2)求二面角D1－AC－B的平面角的正切值． 线面角、二面角的计算 　　　(1)根据直线与平面所成的角，异面直线所成角的定义，可知，D1C与平面ABCD所成的角为∠D1CD，D1A与BC所成的角为∠D1AD. 故∠D1CD＝30°CD＝ ，∠D1AD＝45°AD＝1. 连BC1，因为D1C1⊥平面BCC1B1，所以∠D1BC1为D1B与平面BCC1B1所成的角． 在Rt△D1BC1中， 所以D1B与平面BCC1B1所成的角的正弦值为 . (2)考虑二面角D1－AC－B与二面角D1－AC－D大小互补，故可先求出二面角D1AC－D的平面角的正切值，先作出这个角，在底面ABCD中，作DE⊥AC于E，连D1E， 因为D1D⊥平面ABCD， 所以D1D⊥AC， 又DE⊥AC， 所以AC⊥平面D1ED， 所以DE⊥AC， 所以∠D1ED即为 二面角D1－AC－D的平面角， 在Rt△ADC中，AC×DE＝AD×CD，所以 在Rt△D1ED中， ，D1D＝1. 所以tan∠D1 又因为二面角D1－AC－B与二面角D1－AC－D大小互补， 所以，二面角D1－AC－B的平面角的正切值为 　　　　(1)求空间角的一般步骤：一作(找)，二证，三计算．作(找)出所求角是计算的基础． 　　(2)异面直线所成的角，一般通过作平行线来作出；直线与平面所成的角最关键是找一条与平面垂直的垂线；二面角多采用定义