2019年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题.docx

2019 年全国硕士研究生入学统一考试 数学（一）试题 一、选择题： 1～ 8 小题，每小题 4 分，共 32 分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选 项是符合题目要求的． 1、当 x 0 时，若 x tan x 与 xk 是同阶无穷小，则 k A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 2、设函数 f (x) x x , x, 0, 则 x 0 是 f (x) 的 x ln x, x 0, A. 可导点，极值点 . B. 不可导点，极值点 . C. 可导点，非极值点 . D. 不可导点，非极值点 . 3、设 { un } 是单调增加的有解数列，则下列级数中收敛的是 A. un . B. ( 1)n 1 . n 1 n n 1 un C. (1 un ). D. (un2 1 un2 ). n 1 un 1 n 1 4 、设函数 Q ( x, y) x .如果对上半平面 ( y 0) 内的任意有向光滑封闭曲线 C 都有 y2 ?C P( x, y)d x Q ( x, y)d y ，那么函数 P( x, y) 可取为 0 2 2 A. y x3 . B. 1 x3 . y y y C. 1 1 D. 1 x . x. y y 5、设 A 是 3 阶实对称矩阵， E 是 3 阶单位矩阵 . 若 A2 A 2E ，且 A 4 ，则二次型 xT Ax 规范形为 A. y2 y 2 y2 . B. y2 y2 y2 . 1 2 3 1 2 3 C. y2 y 2 y2 . D. y2 y2 y2 . 1 2 3 1 2 3 6、如图所示，有 3 张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程 ai1x ai 2 y ai 3 z di (i 1,2,3) 组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为 A, A ，则 A. r ( A) 2, r ( A) 3. r ( A) 2,r ( A) 2. C. r ( A)  1, r ( A)  2. D. r ( A)  1, r ( A)  1. 7、设 A, B 为随机事件，则 P( A) P(B) 充分必要条件是 A. P( A B) P( A) P( B). B. P( AB) P( A)P( B). C. P( AB) P( BA). D. P( AB) P( AB). 8、设随机变量 X 和 Y 相互独立，且都服从正态分布 N ( , 2 ) ，则 P{ X Y 1} A. 与 无关，而与 2 有关 . B. 与 有关，而与 2 无关 . C. 与 ， 2 D. 与 ， 2 都有关 . 都无关 . 二、填空题： 9～ 14 小题，每小题 4 分，共 24 分． 9、设函数 f (u) 可导， z 1 z 1 z f (sin y sin x) xy ，则 x cos y . cos x y 10 2 yy y 2 2 0 满足条件 y(0) 1 的特解 y . 、微分方程 11、幂级数 ( 1)n xn 在 (0, ) 内的和函数 S( x) . n 0 (2n)! 12、设 为曲面 x2 y2 4z2 4 (z?0) 的上侧，则4 x2 4z2 dxdy . 13、设 A (α1,α2,α3) 为 3 阶矩阵 . 若 α1,α2 线性无关，且 α3 α1 2α2 ，则线性方程组 Ax 0的通解为 . 、设随机变量 X 的概率密度为 x ,0 x 2, F (x) 为 X 的分布函数， EX 为 X 的 14 f ( x) 2 0,其他 , 数学期望，则 P{ F ( X ) EX 1} . 三、解答题： 15～ 23 小题，共 94 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15、（本题满分 10 分） 2 设函数 y(x) 是微分方程 y xy e 2 满足条件 y(0) 0 的特解 . 1）求 y( x) ； 2）求曲线 y y(x) 凹凸区间及拐点 . 16、（本题满分 10 分） 设 a, b 为实数， 函数 z 2 ax2 by2 在点 (3, 4) 处的方向导数中， 沿方向 l 3i 4 j 的方 向导数最大，最大值为 10. （1）求 a, b ； （2）求曲面 z 2 ax2 by2 (z?0) 的面积 . 17、求曲线 y x sin x x? 与 x 轴之间图形的面积 e 0 18、 设an 1 x 1 x2 dx n 0,1,2 0 （ 1）证明数列 an 单调递减；且 an n 1 an 2 n 2,3 n 2 2 求 lim an n an 1 19、设 Ω 是由锥面