2-似然估计和无偏性.ppt

* * 称 L( ) 为样本的似然函数 称这样得到的 为参数 ? 的最大似然估计值. 称统计量 为参数 ? 的最大似然估计量. 选择适当的? = ,使 取最大值, 即 L( ) 利用最大似然法的思想 例1 设总体 X ~ N (?,? 2), x1, x2,…, xn 是 X 的样本值, 求 ?, ? 2 的极大似然估计. 解 ?, ? 2 的最大似然估计量分别为 似然 方程 组为 例2 设 X ~ U (a,b), x1, x2,…, xn 是 X 的一个 样本值, 求 a , b 的极大似然估计值与极大 似然估计量. 例2 设 X ~ U (a,b), x1, x2,…, xn 是 X 的一个 样本值, 求 a , b 的极大似然估计值与极大 似然估计量. 解 X 的密度函数为 似然函数为 似然函数只有当 a xi b, i = 1,2,…, n 时 才能获得最大值, 且 a 越大, b 越小, L 越大. 取 则对满足 的一切 a b , 都有 故 是 a , b 的最大似然估计值. 分别是 a , b 的最大似然估计量. 问 题 1) 待估参数的最大似然估计是否一定存在? 2) 若存在, 是否惟一? 设 X ~ U ( a – ?, a + ?), x1, x2,…, xn 是 X的一个样本, 求 a 的最大似然估计值. 解 由上例可知, 当 时, L 取最大值 1, 即 显然, a 的最大似然估计值可能不存在, 也 可能不惟一. 例3 不仅如此, 任何一个统计量 若满足 都可以作为 a 的估计量. 最大似然估计的不变性 设 是? 的最大似然估计值, u(? ) (? ? ? )是? 的函数, 若u是一一映射， 则 是 u(? ) 的最大似然估计值. 如 在正态总体N (?,? 2)中, ? 2的最大 似然估计值为 是? 2的函数,故? 的最大似然估计值为 lg? 的极大似然估计值为 §6.2 点估计的评价标准 对于同一个未知参数,不同的方法得到的估计量可能不同,如 应该选用哪一种估计量? 用何标准来评价一个估计量的好坏? 例 设总体 X ~ U (a, b), a, b 未知 常用 标准 (1) 无偏性 (3) 相合性 (2) 有效性 定义 设 是总体X 的样本 是总体参数?的估计量 则称 是? 的无偏估计.(unbiased estimator) 存在, 都有 且对于任意 1、无偏性 是总体X 的样本, 证明: 不论 X 服从什么分布, 是 的无偏估计. 证 例1 设总体X 的 k 阶矩 存在 因而 由于 特别地 样本二阶原点矩 是总体 是总体期望 E( X ) 的 样本均值 无偏估计 的无偏 二阶原点矩 估计 (1) (2) 例2 设总体 X 的期望 与方差存在, X 的 样本为 (n 1) . (1) 不是 Var( X )的无偏估计; (2) 是 Var( X ) 的无偏估计. 证 前已证 证明