西北工业大学《概率论与数理统计》2.2.3_多维随机变量及其分布.pdf

第二节 多维随机变量 第二节 多维随机变量 及其分布(3) 及其分布(3) 八、随机变量的独立性 九、条件分布 回 回 停 停 下 下 八、随机变量的独立性八、随机变量的独立性 由前面的例子我们可以看到, 有时联合概率密度 函数等于边缘密度函数的乘积(如课本p.40 例2.11), 联合分布律等于边缘分布律的乘积(如课本p. 39例 2.10),这类现象涉及到独立性问题,随机变量的独立 性是概率论中的一个重要概念,经常遇到.下面我们 利用事件之间的独立性导出随机变量之间的独立性 概念. 定义2.6 设X ,Y是两个随机变量,若对任意实数 x , y , 定义2.6 事件{X ≤x },{Y ≤y }是相互独立的,即 P {X ≤x , Y ≤y } P {X ≤x }P {Y ≤y } 则称X ,Y是相互独立的. 回忆：两事件A,B独立的定义： 若P (AB ) P (A)P (B ), 则称事件A,B独立. 用分布函数表示，即是 设X ,Y是两个随机变量，若对任意的x, y 有 F (x , y ) FX (x )FY (y ) 则称X,Y 相互独立. 它表明，两个随机变量(简记为r.v)相互独立 时，它们的联合分布函数等于两个边缘分布函 数的乘积. 对于连续型随机变量,上述定义等价于: 对于任意的x, y 有 p (x , y ) p X (x )p Y (y ) 成立,则称X,Y 相互独立. 其中p (x , y )是X ,Y的联合概率密度; p X (x )和p Y (y )分别是X 和Y的边缘概率密度. 对于离散型随机变量,上述独立性定义等价于: 对(X ,Y)所有可能取值(x , y ),有 i j P (X x ,Y y ) P (X x )P (Y y ) i j i j p p p 即 ij i ⋅ ⋅j 则称X,Y 相互独立. 注 如果X 和 Y 相互独立,那么它们的连续函数 f (X) 和g (Y)也相互独立. 例1 已知(X , Y ) 的分布律为 例1 (X ,Y ) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) 1 1 1 1 p ij 6 9 18 3 α β (1) 求α与β应满足的条件; (2) 若X 与Y 相互独立,求α与β 的值. 解 将(X , Y ) 的分