《应用多元统计分析》第03章_多元正态分布均值向量和协差阵的检验.pdf

第三章 多元正态分布均值向量和 协差阵的检验 第一节 引言 第二节 均值向量的检验 第三节 协差阵的检验 第一节 引言  在单一变量的统计分析中，已经给出了正态总体N （， 2 2  ）的均值和方差 的各种检验。对于多变量的正态总体 Np （，∑ ），各种实际问题同样要求对和∑进行统计推 断。 例如，我们要考察全国各省、自治区和直辖市的社会经济发展 状况，与全国平均水平相比较有无显著性差异等，就涉及到多 元正态总体均值向量的检验问题等。  本章类似单一变量统计分析中的各种均值和方差的检验，相 应地给出多元统计分析中的各种均值向量和协差阵的检验。  其基本思想和步骤均可归纳为： 第一，提出待检验的假设H 和H ； 0 1 第二，给出检验的统计量及其服从的分布； 第三，给定检验水平，查统计量的分布表，确定相应的临界 值，从而得到否定域； 第四，根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否定 域中，以便对待判假设做出决策（拒绝或接受）。  在检验的过程中，关键在于对不同的检验给出不同的统计 量，而有关统计量的给出大多用似然比方法得到。由于多变 量问题的复杂性，本章只侧重于解释选取统计量的合理性， 而不给出推导过程，最后给出几个实例。  为了更好的说明检验过程中统计量的分布，本章还要介绍 HotellingT2分布和Wilks分布的定义。 第二节 均值向量的检验 2 一 单一变量检验的回顾及HotellingT 分布 二 一个正态总体均值向量的检验 三 两个正态总体均值向量的检验 四 多个正态总体均值向量的检验 一、单一变量检验的回顾及Hotelling T2分布  为了对多元正态总体均值向量作检验，首先需要给出 2 HotellingT 分布的定义。  在单一变量的检验问题中，设 X 1, X 2 ,, X n 来自总体 2 的样本，我们要检验假设 N ( , ) H :  ; H : 0 0 1 0  当2 已知时，用统计量 (X  ) 0 z n （3.1）  1 n 其中， 为样本均值。当假设成立时，统计量 服 X X i z n i 1 从正态分布z ~ N (0,1) ，从而否定域为| z |z/ 2 ，z/ 2 为 N (0,1) 的上/ 2 分位点。 2 2 1 n 2  当