第四章多维随机变量及其分布.pdf

概率论与数理统 计课件 作者: 王 力 WangLi 1 概率论与数理统 计 第四章 多维随机变量及其分布 WangLi 2 第四章 多维随机变量及其分布  4.1 多维随机变量及其分布函数、边缘分布函数  在前一章中，我们所讨论的随机现象只涉及到一个 随机变量，但在很多随机现象中，往往要涉及到多 个随机变量.  例如，向一个目标进行射击，如果只考虑弹着点与 靶心的距离，那么用一个随机变量来描述就可以 了；如果要考虑弹着点的位置，那么就需要两个随 机变量(弹着点的横坐标X 与纵坐标Y)来描述. WangLi 3  若要研究天气的变化，情况就更复杂了，这要涉及 到更多的随机变量，如温度、气压、风向、风力、 湿度等等.  一般来说，这些随机变量之间存在着某种联系，因 而需要把它们作为一个整体(即向量)来研究.  定义4.1 若X1 (e),X2 (e),…,Xn (e)是定义在同一个 样本空间S上的n个随机变量，e ∈S ，则由它们构成 的一个n维向量(X1 (e),X2 (e),…,Xn (e))称为n维随 机向量，或n维随机变量，简记为(X ,X ,…,X ). 1 2 n  显然一维随机变量，即为前一章讨论的随机变量.  下面着重讨论二维随机变量的情况，对于多个随机 变量的情况，不难类推. WangLi 4  类似于一维随机变量的分布函数，我们定义二维随 机变量的分布函数如下：  定义4.2 设(X ,Y)为二维随机变量，x 、y 为任意实 数，则二元函数 F (x ,y )=P (X ≤x ,Y≤y ) 称为(X ,Y)的分布函数，或称为X 和Y的联合分布函 数.  如果将二维随机变量(X ,Y)，看成是平面上随机点 的坐标，那么F (x ,y )就是二维随机点(X ,Y)落在以 (x ,y )为顶点的左下方的无穷矩形域内的概率(如图 4.1). WangLi 5  利用分布函数F (x ,y )=P (X ≤x ,Y≤y )，对任意的四 个实数x x ，y y ，可以求得 1 2 1 2 事件“x X ≤x ，y Y≤y ” 1 2 1 2 的概率为  P (x X ≤x ,y Y≤y ) 1 2 1 2 = F (x ,y )−F (x ,y )−F (x ,y )+F (x ,y ) 2 2 2 1 1 2 1 1  即     P (x X x ,y Y y ) 1