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专题1 空间几何体的三视图与直观图
三视图是立体几何中的基本内容,能根据三视图识别其所表示的立体模型,并能根据三视图与直观图所提供的数据解决问题.
主要考查形式:(1)由三视图中的部分视图确定其他视图;(2)由三视图还原几何体;(3)三视图中的相关量的计算.其中(3)是本章的难点,也是重点之一,解这类题的关键是准确地将三视图中的数据转化为几何体中的数据.
[例1] (1)若一个正三棱柱的三视图如图所示,则这个正三棱柱的高和底面边长分别为( )
A.2,2eq \r(3) B.2eq \r(2),2 C.4,2 D.2,4
(2)(2016·全国Ⅲ卷)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为( )
A.18+36eq \r(5) B.54+18eq \r(5) C.90 D.81
解析:(1)由三视图的画法规则知,正视图与俯视图长度一致,正视图与侧视图高度一致,俯视图与侧视图宽度一致.所以侧视图中2为正三棱柱的高,2eq \r(3)为底面等边三角形的高,所以底面等边三角形边长为4.
(2)由三视图可知,该几何体的底面是边长为3的正方形,高为6,侧棱长为3eq \r(5),则该几何体的表面积S=2×32+2×3×3eq \r(5)+2×3×6=54+18eq \r(5).故选B.
答案:(1)D (2)B
归纳升华
1.第(1)题中易把2eq \r(3)误认为是正三棱锥底面等边三角形的边长.注意“长对正、高平齐、宽相等”.
2.(1)由几何体的三视图还原几何体的形状.要熟悉柱、锥、台、球的三视图,明确三视图的形成原理,结合空间想象将三视图还原为实物图.
(2)组合体的三视图要分开分析,特殊几何体要结合日常生活的观察分析还原.
[变式训练] (1)如图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题:①存在三棱柱,其正(主)视图、俯视图如下图;②存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如下图;③存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如下图.其中真命题的个数是( )
A.3 B.2 C.1 D.
(2)(2015·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为( )
A.1 B.eq \r(2) C.eq \r(3) D.2
解析:(1)如图①②③所示的正(主)视图和俯视图与题图相同.
所以题中的3个命题均是真命题.
(2)由三视图知,四棱锥的直观图如图所示.
其中侧棱SA⊥底面ABCD,SA=l,且底面是边长为1的正方形.
所以四棱锥的最长棱为SC,
且SC=eq \r(SA2+CA2)=eq \r(3).
答案:(1)A (2)C
专题2 空间几何体的表面积与体积的计算
面积和体积的计算是本章的重点,熟记各种简单几何体的表面积和体积公式是基础,复杂几何体常用割补法、等积法求解,具体问题具体分析,灵活转化是解题策略.
[例2]如图所示的三棱锥O-ABC为长方体的一角.其中OA、OB、OC两两垂直,三个侧面OAB、OAC、OBC的面积分别为1.5 cm2、1 cm2、3 cm2,求三棱锥O
解:设OA、OB、OC的长依次为x cm、y cm、z cm,
则由已知可得eq \f(1,2)xy=1.5,eq \f(1,2)xz=1,eq \f(1,2)yz=3.
解得x=1,y=3,z=2.
显然三棱锥O-ABC的底面积和高是不易求出的,于是我们不妨转换视角,将三棱锥O-ABC看成以C为顶点,以OAB为底面.
易知OC为三棱锥C-OAB的高.
于是VO-ABC=VC-OAB=eq \f(1,3)S△OAB·OC=
eq \f(1,3)×1.5×2=1(cm3).
归纳升华
1.(1)多面体的表面积是各个面的面积之和,计算组合体的表面积时应注意衔接部分的处理.
(2)求解旋转体的表面积问题时注意其侧面展开图的应用.
2.(1)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.
(2)若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何体的直观图,然后根据条件求解.
[变式训练] 某几何体的三视图如图所示,试求该几何体的体积.
解:由三视图知,该几何体是一圆柱被平面所截后得的简单组合体,如图所示,其中AD=5,BC=2,且底面圆的半径R=2.
过C点作平行于底面的截面,将几何体分成两部分.
故该几何体的体积V=π×22×2+eq \f(1,2)π×22×3=14π.
专题3 转化思想与函数方程思想
转化思想的核心在于把生疏和复杂的问题转化、归结为较为熟悉、简单的问题解决,在本章中体现在通过展开图求其表面积、利用截面图将立体几何问题转化成平面几
何问题等.函数方程思想是用运动变化的观点研究具体问题中的数量关系,如
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