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第三章 概率与概率分布 总体与样本的关系包括两个方面： 一、由已知总体研究样本的分布规 律，即变量的概率分布； 二、由所得到的样本去推断未知总 体，即统计推断。 通过研究样本去推断其所属的总体特征。 从同一总体中随机抽取样本，由于抽样的方式等影响，每次抽样的结果不完全相同。因此，用不同的样本区推断同一总体将得出不同的结论。这些结论有些可能是正确的，也有些可能是错误的。 因此，由某一个样本去推断总体，必须了解推断错误的可能性有多大？置信度有多高？这就有必要了解总体的分布，即从总体中进行抽样，各样本特征数与总体的特征数之间的关系。即必须了解从总体到样本的关系。 概率的基础知识 事件、频率、概率 自然界的各种现象按其因果关系分为确定性现象和非确定性现象两类。 事件：统计学上事件是指研究对象发生或即将发生的现象，根据事件发生的可能性大小可分为三类： 1、必然事件：在一定条件下必定出现的现象， 通常以U表示。如：小白鼠放置在充满co的容器中必然死亡。 2、不可能事件：在一定条件下必定不出现的现象， 通常以V表示。如：正常的胎儿既是雄性又是雌性的事件。 必然事件和不可能事件都属于确定性现象 3、随机事件：也叫非确定性事件，在一定条件下可能出现也可能不出现的现象， 简称事件。如：种子播种后发芽是可能事件。 随机事件属于非确定性现象 事件的相互关系 一个事件与其他一个或多个事件之间发生的情况可分为：和事件、积事件、互斥事件、对立事件、独立事件、完全事件系等类型。 和事件：事件A与事件B至少有一件发生而构成的新事件，记为A+B；（也叫并事件） 积事件：事件A与事件B同时发生而构成的新事件,记为A.B；（也叫交事件） 互斥事件：事件A与事件B不能同时发生，即A.B=V,称事件A与事件B互斥；（也叫互不相容事件） 对立事件：事件A与事件B必有一件发生，但不能同时发生，即：A+B=U, A.B=V,称事件A与事件B对立； 独立事件：事件A与事件B的发生没有关系，即事件A的发生不影响事件B的发生，反之依然，称事件A与事件B为独立事件； 完全事件系：在有多个事件中，事件之间两两互斥，而且每次试验中又必定发生其中之一，该多事件为完全事件系。 概率的基础知识 频率的概念及特征 概念：设事件A在n次重复试验中发生了m次，其比值n/m称为事件A发生的频率，记为： W(A) = m/n 根据频率的定义，可以发现： 0 ≤ W(A) ≤ 1 特征：在试验条件相同的情况下，当重复试验的次数n无限增大时，A事件出现的频率逐步趋向稳定。 概率的基础知识 概率及特征 概念：某事件A在n次重复试验中发生了m次，当重复试验的次数n不断增大时，事件A发生的频率W(A) 越来越接近某一确定值p，定义p为事件A发生的概率，记为： P(A)= p 一般情况下，某事件发生的概率p是很难得到的，通常以n充分大时事件A的频率作为该事件发生概率的近似值。 概率的基本性质 必然事件的概率等于1； 不可能事件的概率等于0； 随机事件的概率介于0和1之间，即： 0≤p(A)≤1 概率论与统计学 随机现象并非不可认识。虽然个别的随机现象似乎是无规律的，但在研究大量的随机现象后能从中发现隐藏于其中的内在规律。 概率论：研究偶然现象（随机现象）本身规律性的科学。 统计学：基于实际观测结果，利用概率论得出的规律，揭示偶然性中所寄予（隐藏）的必然性的科学。 两者的关系：概率论和统计学都是研究随机现象规律性的科学，概率论是统计学的基础，统计学是所得出的规律在各领域中的实际应用。 概率计算法则 加法定理： 互斥事件的和事件的概率等于互斥事件的概率之和，P(A+B)=P(A)+P(B) 对立事件的概率之和等于1， 即P(A)=1-P(B) 完全事件系的概率和等于1 乘法定理： 独立事件的积事件等于独立事件概率之积 条件概率 概念：在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率，记为P(A I B) P(A I B)=P(AB)/P(B) 贝叶斯公式 设事件B能且只能与A1,A2,A3…Ai…AK之一同时发生，那么在事件B发生的条件下，Ai发生的概率为： 实 例 假定在中年男性人群中，肥胖者占20%，标准体重者占50%，低体重者占30%，这三类人群出现动脉硬化的概率分别为30%、10%和1%。现在从这个假设的男性人群中随机抽样，抽取的1人是动脉硬化患者，请问：这个被抽取的男性属于肥胖、标准体重和低体重组的概率是多少？ 解： 用B表示抽到动脉硬化患者的事件， 用A1表示抽到肥