[理学]高等数学课件——71amp72定积分的概念性质.pptVIP

7.1.7.2定积分的概念和性质 第一部分 定积分的概念 一、问题的提出 三、积分存在定理（可积的充分条件） 例3. 用定积分表示下列极限: 第二部分 定积分的性质 小结 １．定积分的实质：特殊和式的极限． ２．定积分的思想和方法： 分割 化整为零 求和 积零为整 取极限 精确值——定积分 求近似以直（不变）代曲（变） 取极限 3．定积分的性质 （注意估值性质、积分中值定理的应用） 4．典型问题 （１）估计积分值； （２）不计算定积分比较积分大小． o x y 一般，曲边梯形的面积 ；而 的几何意义则是曲边梯形面积的代数和。 a b A1 A2 A3 A4 + + (3) 若当x?[a, b]时, 连续函数f (x) 既取得正值, 又取得 负值时 其中Ai表示 第部分图形? 的面积. 例1 由定积分的几何意义可得： x y O a x y O 例1 由定积分的几何意义，指出下列积分的值。 a -a x y O 例1 由定积分的几何意义可得： ? －? x O y 例1 由定积分的几何意义可得： 0 x y=x2 y 解: 因为y=x2 在[0, 1]上连续, 定积分存在, 将区间[0, 1]等分成 n等份, 分点为 例2 于是 解: 例4 将和式极限 表示成定积分. 解： 原式 对定积分的补充规定: （3）定积分与积分区间和被积函数有关，而与 积分 变量无关。即 性质1: 设 f (x)、g(x)在[a, b]上可积, 则 f (x) ? g(x) 在[a, b]可积, 且 证: 推论 有限个函数的代数和的定积分等于各函数的积 定分的代数和，即 性质1可以推广到有限多个函数的情形 性质2: 设f (x)在[a, b]上可积, 则k f (x)在[a, b]可积, 且 证: 性质3: 设f (x)在[a, b]上可积, a c b, 则f (x)分别 此时, c 称为内分点. 在[a, c], [c, b]上可积, 且 x y O b a c 性质3表明定积分对积分区间具有可加性，这个性质可 用于求分段函数的定积分。 推论: 设f (x)在[a, c]上可积, a b c, 则: 此时, c 称为[a, b]的外分点. 或 f (x)在[c, b] 上可积, c a b, 总之：不论 的相对位置如何, 性质3总成立. 性质4: 设在[a, b]上, f (x) ? 1. 则 性质5: 设f (x)在[a, b]上可积, 且 f (x) ? 0. 则 推论1: 如果在[a, b]上可积, 且 f (x) ? g(x). 则 例5 在下列两个定积分之间添加适当的不等号 （2） （1） 例6．比较积分的大小： 解：设 表明， 单调增加，且 从而 即 证得 解： 显然 于是 练习 推论2: 证: 即: 性质6: 设M 和m分别是 f (x)在[a, b]上的最大值 证: 即: 及最小值, 则 （此性质可用于估计积分值的大致范围） 例如: 解 例7 解 例8 例9 证明 证 设 令 得驻点 x=0，又 最小值为 即 性质7: (定积分中值定理) 设 f (x)在[a, b]上连续, 则 证: 由于 f (x)在[a, b]上连续, 所以 f (x)在[a, b]上存在最大值M, 最小值m, 得 由介值定理 ???[a , b]. 使 即: 在[a, b]上至少存在一个点? , 使得 性质7 的几何意义： . ) ( 的矩形的面积 为 x f ] , [ ] , [ 为底边，以曲线 ，使得以 上至少有一 在 x b a b a ) ( 的面积等于同一底边而高 为曲边的曲边梯形 x f y = 解 由积分中值定理知有 使 例10 如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，我们称 为函数f(x)在[a,b]上的平均值. 如已知某地某时自0至24时天气温度曲线为 f(t), t为时间，则 表示该地、该日的平均气温. 如已知某河流在某处截面上各点的水深为h(x), (a为河流在该截面处水面之宽度)，则该河流 在该截面处的平均水深为 . 实例1 （求