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* 数学准备知识 数学和物理学是紧密相关的，在一个领域的发现导致了在另一个领域内的进步。如经典力学与微积分、矢量，统计物理与概率论，量子力学与算符理论等。较早地掌握一些高等数学知识，对于物理学的一些基本概念和规律的深入理解是大有益处的。 一、微积分初步（思想方法！） 恩格斯指出：“只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态，并且也表明过程：运动”。 三国时期魏人刘徽（公元263年）总结前人成果，提出了“割圆术”，他说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”（正六，十二，二 十四…直到正192边形）→“无限细分，无限求和”思想方法。 保留到现在的河北赵州石拱桥是隋代李春（公元581-618 →局部可以“以直代曲”的基本思想。 物理学中的几个实例 变速直线运动的速度（瞬时速度） 当物体作等速直线运动时，它在任何时刻的速度为 S为t时间物体所经过的路程，但物体所作的运动往往是变速的，而上述公式只能反映物体在一段时间内经过某段路程的平均速度，不能反映物体在某一时刻的速度。现在我们就来讨论如何精确地刻划物体作变速直线运动在任一时刻的速度以及它的计算方法。 年）所设计的，这座跨度达37m的大石拱桥是用一条条长方形长石砌成的。一段段直的条石却砌成了一整条弧形曲线的拱圈。 先讨论自由落体运动 设物体从O点开始下落，经过时间t0落到M0点，当时间由 t0→t0+△t时，物体由M0点落到M点。 两端除以△t，得物体在△t时间内的平均速度： M0 M S0 O S 显然，这个平均速度 是随 的变化而变化的。在很小的一段时间 内，物体运动的快慢变化不大，可以近似地看作是等速的。因此当 很小时，可用 来近似地描述物体在 时刻的运动快慢，可以想象， 越小，这种描述的精确性就越好，若 时， 的极限存在，那么这个极限值就叫做物体在 时刻的速度，用 表示 当然，可以用同样的方法来讨论一般变速直线运动的速度，设物体作变速直线运动，其运动方程为 瞬时加速度 一般来说，瞬时速度或瞬时速率v也是t的函数：v=v(t)在许多实际问题中，只有速度或速率的概念还不够，我们还需要知道速度随时间变化的快慢，即需要建立“加速度”的概念， 举例来说，对于匀变速直线运动 对于一般的变速运动， 也是与 有关的，这时为了反映出某一时刻速度变化的快慢，必须引入瞬时加速度的概念 热容（比热） 下面是在压力一定的条件下，对单位质量的物质来讨论的（定压热容），设物质原来的温度是T0，当温度发生变化时，就要吸收或放出热量， 应当是T的函数 当温度从 时，吸收热量为 则 就是该物质在 这一温度范围内，温 度每升高一度平均所吸收的热量，即物质在此温度范围内的 平均热容 ，当 时， 就转化为该物质在温 度 的热容 一般来说，同样的物质在温度不同时其热容也是不同的，亦 即 是T的函数。 上面几例都是当自变量的增量趋近于零时，函数的增量与自变量的增量之比的极限。在自然科学和工程技术问题中，还有许多其它的量具有这种数学形式。如果抽去这些问题的实际意义，抓住它们在数量关系上的共性，就得出函数导数的定义。 若函数 在区间（a,b）内的每点都可导，就说函数 在区间（a,b）内可导，这时，函数 对于每一个 ，都有一个确定的导数值与之对应，这就构成了x的一个新函数，这个新的函数叫做 对x的导函数。 记为： 显然，函数 在点 的导数 就是导函数 在点x=x0的函数值，即 有了导数的定义后，前面几式可写成： 导数的运算（Page409） 例1： 的导数， 例2： 的导数 导数的几何意义：先看 割线MN的斜率 ， 当 时N沿曲