[数学]概率论与数理统计.pptVIP

第六章 参数估计 点估计 估计量的评选 区间估计 §6.1 点估计 一.矩估计法 二.极大似然估计法 二.有效性 三.相合性　　设　　　　　　　　是参数?的估计量，若????，当n??时，　　　　称　为?的相合估计量（一致估计量）。 §6.3 参数的区间估计一.概念eg1.对上海地区的明天的平均气温T进行预测，则假定T?[a,b]。 * * 总体X的分布函数F(x；?) ???的形状是已知的，但其中?为未知参数, ?为参数空间。设X1， … ， Xn是总体X的一个样本，若统计量g(X1， … ， Xn)可作为?的一个估计,则称其为?的一个估计量，记为 若x1， … ， xn是样本的一个观测值。 由于g(x1， … ， xn) 是实数域上的一个点，现用它来估计?， 故称这种估计为点估计。 eg1.已知每包打印纸的重量X～N(?,?2)，其中?，?未知，现对其中9包打印纸称重： 试估计?。 解：设Xi=第i包打印纸重，Xi～N(?,?2) 1.8 2.1 2.0 1.9 2.0 1.8 1.9 2.1 1.8 kg 9 8 7 6 5 4 3 2 1 包 2.设(X1，X2， … ，Xn)是总体X的样本: (1)X的k阶原点矩：?k=E(Xk) 样本的k阶原点矩： 1.矩估计法： （1）用样本矩作为总体同阶矩的估计； （2）若 是未知参数?的矩估计，则g(?)的矩估计为g( )。 (2)X的K阶中心矩:?k=E{[X-E(X)]k} 样本的k阶中心矩： eg2.设X1， … ， Xn为取自总体U[a,b]的样本，求a,b的矩估计。 解： eg3.设总体X的概率密度为 X1， … ， Xn为样本，求参数?的矩估计。 解： eg4.已知每包打印纸的重量X～N(?,?2)，其中?，?未知，现对其中9包打印纸称重： 试估计?,?2。 解：设Xi=第i包打印纸重，Xi～N(?,?2) 1.8 2.1 2.0 1.9 2.0 1.8 1.9 2.1 1.8 kg 9 8 7 6 5 4 3 2 1 包 eg1.有两个射手，甲的命中率为0.9,乙的命中率为0.1,现在他们各向目标射击了一发，结果一个人命中了，估计是谁命中了的？ 一般说，事件A发生的概率与参数???有关，?取值不同，则P(A)也不同。因而应记事件A发生的概率为P(A|?)。若A发生了，则认为此时的?值应是在?中使P(A|?) 达到最大的那一个。这就是极大似然思想。 1.极大似然估计：根据样本值选取参数?，使样本值发生的概率最大。 eg1’.有两个射手，甲的命中率为p1,乙的命中率为p2,现在他们各向目标射击了一发，结果甲命中了，估计是谁的命中率高？ eg2.一个盒子中有黑球和白球，比例是3：1，但不知道那种球多，设 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 记p=P(X=1)，现有放回地从中取了三个球得到样本值为（x1,x2,x3)，根据这个值应该如何确定p？ 解： P{X＝k}＝pk(1－p)1－k (k=0,1) p=1/4或3/4 作 L(x1,x2,x3:p)=P(X=x1,X=x2,X=x3) P=3/4 P=1/4 3 2 1 0 x1+x2+x3 2. 离散型随机变量：设总体X的分布律为 设(X1,X2,…,Xn)是X的样本，有样本观察值x1,x2,…xn,则 L(?)称为似然函数。极大似然估计是在?中选取适当的　??使L(?)达到最大值。即 eg3.设X1， … ， Xn为取自参数为p的两点分布总体的样本，求p的极大似然估计。 解： P{X＝k}＝pk(1－p)1－k (k=0,1) 似然函数为： 2. 连续型随机变量：设总体X的概率密度函数为f(x;?),??? 设(X1,X2,…,Xn)是X的样本，有样本观察值x1,x2,…xn,则 作样本的似然函数为： 极大似然估计是在?中选取适当的　??使L(?)达到最大值。即 n x x n i i i n i x i n i i i n n dx dx x f dx x f x X P x X x X x X P n i ... ) , ( ... ) , ( ) ( ) ,..., , ( 1 1 1 1 2 2 1 1 1 ò ò ? ? ò ? ￥ - ￥ - = = ￥ - = = = ￡ = ￡ ￡ ￡ q q eg4.设X1， … ， Xn为取自 总体的样本，求参数 的极大似然估计。 解： 似然函数为： 令 3.求极大似然估计的步骤 (1) 做似然函数 (2) 做对数似然函数 (3) 列似然方程 若该方程有解，则其解就是 注1：若概率函数中含有多个未知参数，则可解方程组