2018年中考数学专题：构造基本图形巧解含45度角的问题.pdf

构造基本图形巧解含 45o角的问题 本文以两道含有 45o 角的中考试题为载体， 分析这类问题的共同特点和解法， 供同学们 参考 . 一、试题呈现 题 1 (2017 年丽水中考题 )如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y x m分别交 x 轴， y 轴于 A 、 B 两点，已知点 C (2,0) . (l) 略 ; (2)设 P 为线段 OB 的中点，连结 PA ， PC 若 CPA 45 ，则 m 的值是 . 题 2 (2017 年金华中考题 )如图 2，已知点 A (2,3) 和点 B(0, 2) ，点 A 在反比例函数 k y 的图象上 .作射线 AB ，再将射线 AB 绕点 A 按照逆时针方向旋转 45o，交反比例函数 x 的图象于点 C ，则点 C 的坐标是 . 上面的两道中考填空题， 虽然形式上不太一样， 但是有着一个共同的特点， 都存在一个 45o 的特殊角 .因此，如何利用 45o 角成为了解题的突破口， 45o 角的两边与 x 轴的交点都形 成了一个类似的三角形，因此这两道题有着如下的共同解法 . 二、共同解法展示 1.构造 “一线三等角 ”，利用相似三角形 丽水题解法 1 如图 3 ，在 y 轴截取 OD OC ，此时 PDC 45 ，可以证得 BP BA ABP : PDC ， . CD PD m m 进而得到方程 : 2 2 2 m : ( 2) ， 2 2 解得 m 12 . 金华题解法 1 如图 4 ，过点 A 作等腰直角 PNG ，作 ND NF ，连结 DF ，易得 NP NG 6 ， PG 6 2 . 设 FN DN a ， 可以证得 APG : FDA ， AP DF 得 ， PG DA 3 2a ∴ ， 6 2 a 3 解得 a 1 ， ∴ F (1,0) . 求出 AF 的解析式为 y 3x 3 , 6 再与 y 联列方程，得到 C 点坐标为 ( 1, 6) . x 分析 “一线三等角 ”是一种常见的建立三角形相似的方法 .该模型在这两小题的应用中 看上去有些异常，一个只有两等角，另一个根本不存在等角，所以我们利用 45o 的角去构造 等腰直角三角形，形成 “一线三等角 ”的基本模型，再利用相似三角形的基本性质列出方程 . 2.构造 “三垂型 ”模型，利用全等三角形 丽水题解法 2 如图 5 ，过点 C 作 CD CP ，交 AP 于点 D ，再作 DE x 轴，易得 OPC ECD ， m ∴ DE OC 2 ， CE OP ， 2