实变函数论课后答案第四章1.doc

实变函数论课后答案第四章1 第四章第一节习题 证明：上的两个简单函数的和与乘积都还是上的简单函数 证明：设，，这里互不相交，互不相交 令， ， 则易知 先注意：若，互不相交，则 （可为无穷大） （，使，， ，且，则） 且 同理： 这显然还是一个简单函数，因为 若，则 ，（） ，（） ，（） ， 显然，， 事实上，， 若或 则 当时 则也是简单函数 ，显然仍为简单函数 证明当既是上又是上的非负可测函数时，也是 上的非负可测函数 证明：显然于，且于表明于 又， 由于在，上分别可测，和均为可测集，从而由P