简支梁在移动载荷作用下的最大剪力和最大弯矩.doc

第 1 期 (总第 102 期)1999 年 3 月山 第 1 期 (总第 102 期) 1999 年 3 月 山 西 机 械 SHA N X I M A CH IN ER Y N o 11 M a r1 简支梁在移动载荷作用下的 最大剪力和最大弯矩 李英华1) 摘 要 应用剪力图、弯矩图和代数二次函数极值的知识, 对简支梁受移动载荷作用时的 最大剪力和最大弯矩的计算方法进行了论证。 关键词: 材料力学 剪应力 弯矩 中国图书资料分类号: TB 301 载荷 平面弯曲的内力计算是《材料力学》非 常重要的一部分内容。 计算梁横截面的剪力 和弯矩时, 梁上载荷的位置都假设是固定的, 这在很多情况下是不符合实际的。 例如: 载 重卡车或火车过桥、 桥式起重机或龙门起重 机的起重小车在横梁上运动, 就是典型的移 动载荷的例子, 它们通过等距离的轮子传递 着载荷。 当载荷移动着经过梁时, 梁每一横 截面上的剪力和弯矩的大小将发生变化。 那 么, 梁的最大剪力和最大弯矩的数值是多少, 移动载荷运行到梁上什么位置会产生最大剪 件下, 将载荷向右或向左任一方向移动, 把 两边的载荷轮换放到支座上计算反力大小, 最大支座反力即为简支梁截面的最大剪力, 而此时移动载荷在梁上的位置即是产生最大 剪力的位置。 2 最大弯矩 由弯矩图可知, 简支梁在集中载荷作用 下的最大弯矩发生在集中载荷作用的载面。 只需计算出每一个载荷下的最大弯矩值, 即 可找到简支梁的最大弯矩。 但由于载荷是移 动的, 载荷作用截面的弯矩在发生变化, 下 面以简支梁上承受三个距离不变的移动载荷 为例进行论证。 简支梁上的移动载荷见图 1。 力和最大弯矩, 上的情况较多, 作一叙述。 1 最大剪力 由于移动载荷作用在简支梁 下面仅对简支梁的上述问题 由于简支梁的截面最大剪力等于最大支 座反力。 因此, 要确定最大剪力, 只需求出 最大支座反力即可。 但反力的大小是随载荷 在梁上移动而发生变化的, 为确定支座反力, 必须考虑载荷的不同位置。 我们知道, 当载 荷作用在支座上时, 支座反力最大。 对于移 动载荷, 在保证载荷间的距离不能改变的条 图 1 简支梁上的移动载荷 F 为其合力。支座反力R A =F 2 到梁中点的距离 d 1 为F (L - x - l)L L - l- S 1L ,(x + S 1 ) = 2 -d 1 = 2 --LF (x + l)2l- S 1。R B =S 1 =,L2211 F 1 作用截面的弯矩考虑 F 1 左边梁的截面, 其弯矩为F 到梁中点的距离 d 2 为L - l- S 1L L d 2 = ( l+ X )- =l +-=222 (L - x - l)M 1 = R A ·x = FF x = - ·l- S 1。LL2即当 F 2 作用截面处有最大弯矩时, F 2和 F 到梁中点的距离相等。(L - l)x 。x 2 + F(1)L由于L 、F、 l 是常数, 所以, 这是一个二次函数。由代数二次函数可知, F 为其合力。 支座反力R A = F 2 到梁中点的距离 d 1 为 F (L - x - l) L L - l- S 1 L , (x + S 1 ) = 2 - d 1 = 2 - - L F (x + l) 2 l- S 1 。 R B = S 1 = , L 2 211 F 1 作用截面的弯矩 考虑 F 1 左边梁的截面, 其弯矩为 F 到梁中点的距离 d 2 为 L - l- S 1 L L d 2 = ( l+ X ) - = l + - = 2 2 2 (L - x - l) M 1 = R A ·x = F F x = - · l- S 1。 L L 2 即当 F 2 作用截面处有最大弯矩时, F 2 和 F 到梁中点的距离相等。 (L - l) x 。 x 2 + F (1) L 由于L 、F、 l 是常数, 所以, 这是一个 二次函数。由代数二次函数可知, y = a x 2 + bx 作用截面的弯矩 213 F 3 b 处, + c 中, 大值。 若 a 0, 则在 x = - 函数有极 考虑 F 3 右边梁的截面, 其弯矩为 2a (x + l) F M 3 = R B (L - x - S 1 - S 2 ) = · L F 0, 所以M 1 在式 (1) 中, 因为 a = - 有极大值存在, 且此